Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
работающих в этой области современной небесной механики.
При решении оптимальных и краевых задач динамики космического полета
используются методы (классические и современные) вариационного исчисления
и математической теории оптимальных процессов. Математические методы,
применяемые в динамике космического полета, можно условно объединить в
следующие группы.
а) Методы классического вариационного исчисления, связанные с решением
основных вариационных задач (изопериме-трическая задача, задачи Лагранжа,
Майера и Больца), которые формулируются без привлечения функций
управления. К этой группе методов можно отнести и теорию экстремумов
функций и функционалов Лагранжа. В последние годы появились достаточно
эффективные численные методы проверки необходимых и достаточных условий
теории максимумов и минимумов, когда количество независимых переменных
велико. Особый интерес представляют те методы, которые позволяют решать
экстремальные задачи в классе разрывных или не всюду дифференцируемых
функций.
Основные понятия и определения теории экстремумов и вариационного
исчисления читатель может найти в многочисленных учебных пособиях (Г. М.
Фихтенгольц [1], И. М. Гельфанд и С. В. Фомин [2], Л. Э. Эльсгольц [3] и
др.). Кроме того, можно рекомендовать работы Блисса [4] - [7], Чикала
[8], Хэнкока [9]. Хорнера [10], Миеле [11] и др. Достаточно полный обзор
перечисленных выше работ содержится в переведенном на русский
ГЛ. 1. СВЕДЕНИЯ ИЗ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
G95
язык сборнике статей [12], вышедшем под редакцией Лейтмана. На работы,
включенные в сборник [12], мы неоднократно будем ссылаться. Следует
указать и на книгу Миеле [13], также переведенную на русский язык.
б) Методы классического вариационного исчисления, видоизмененные и
приспособленные для решения традиционных задач (изопериметрической
задачи, задач Лагранжа, Майера, Больца), сформулированных с учетом
функций управления. Среди многих работ, рассматривающих оптимальные
траектории космического полета с этой точки зрения, следует прежде всего
указать на исследования Лоудена [14] - [20], основанные на решении задачи
Майера в современной постановке (в настоящем справочнике она названа
"третьей формулировкой задачи Майера"), Существенные результаты в этом
направлении получены В. Ф. Кротовым [21] - [23], В. А. Троицким [24] -
[26], Д. Е. Охоцимским и Т. М. Энеевым [27], Лейтманом [28] - [30].
Наконец, в сборнике [12] можно найти изложение различных аспектов этого
направления вариационного исчисления и многочисленные литературные ссылки
(особенно главы II-V, XI).
в) Метод скорейшего спуска (или метод градиентов), который с полным
правом можно было бы отнести к группе а), так как он появился еще во
времена Коши. Однако большие вычислительные возможности, появившиеся в
связи с современной вычислительной техникой, делают метод скорейшего
спуска весьма эффективным при решении оптимальных задач динамики
космического полета и по этой причине мы выделили его отдельно.
Эффективность метода градиентов при нахождении относительных экстремумов
функций многих переменных была показана, в частности, Кюрри [31], Розеном
[32], Топкинсом [33], а его эффективность в исследовании оптимальных
траекторий была установлена Штейном [34], Келли [35], Брайсоном и др.
[36]. Достаточно подробное изложение метода градиентов применительно к
оптимальным задачам динамики космического полета, сопровождаемое весьма
полным указателем литературы, дано в сборнике [12] (гл. VI).
г) Принцип максимума Л. С. Понтрягина - один из основных методов
математической теории оптимальных процессов. Изложение этого принципа
содержится в монографиях [37], [38] Он особенно удобен при решении
вариационных задач со связями, содержащими ограничения на функцни
управления. Основные математические проблемы обоснования принципа
максимума были решены его создателями (академиком Л. С. Понтря-гиным и
его учениками В. Г. Болтянским, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко).
Некоторые математические аспекты принципа были изучены Л. И. Розоноэром
[39]. Вопросы применимости принципа максимума для исследования
оптимальных
696 Ч. VIII. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКИ [§ 1.01
движений в динамике космического полета рассматривались Лейтманом [28],
[30], [40], В. К. Исаевым [41], [42] и др.
д) Принцип оптимальности Веллмана (или метод динамического
программирования) также является одним из основных методов математической
теории оптимальных процессов. Основы этого метода изложены его создателем
в книгах [43], [44] и в многочисленных научных статьях. Практическое
применение метода динамического программирования в динамике космического
полета связано с использованием ЭВМ с большой емкостью оперативной
памяти. Известно [12], что задача о минимизации интегрального
функционала, зависящего от двумерного вектора управления, требует
машинной оперативной памяти в 40 000 ячеек. Для решения вариационных
задач большей размерности требуются еще более мощные вычислительные
