Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. Если Х\ переменно, то функционал
^ \Уц + !, 1> У q + 2, 1" ¦ • ¦ > Уп, 1 > -^l] (8.1.27)
минимизируется и по Х\.
Управление и*(х) называется оптимальным управлением, а соответствующее
ему решение у*(х) уравнения (8.1.09) называется оптимальным решением
(оптимальным движением, оптимальной траекторией).
Обобщение теоремы Лагранжа. Компоненты и[(х), и'2(х), ..., ит(х)
оптимального вектора управления и*(х)
и компоненты у'(х), у\(х)................У*п(х) соответствующего ему
оптимального решения у*{х), доставляющие минимум функционалу (8.1.26),
должны удовлетворять (кроме уравнений (8.1.09), условий связи (8.1.24) и
краевых условий (8.1.23) и (8.1.25)) и характеристическим уравнениям (или
обобщенным уравнениям Эйлера - Лагранжа)
*1
J-|Ld* + a,fi0 (i=l, 2.....п), (8.1.28)
X, 1
° = -|^ (* = 1,2......m), (8.1.29)
где функция Лагранжа F (х, у, и) выражается равенством*)
F(x, у, и) = - (X, f) + (11, g) =
= -'Zh М ft (x, y, u) + ? \i, (x) g5 (x, y, u). (8.1.30)
f = l S= 1
Функции Aj (*), lz(x), kn(x) и M*), (¦*).....M*) СУТЬ
множители Лагранжа.
Таким образом, число функций, подлежащих определению, равно 2п + m + р (п
компонент оптимального решения у*(х),
*) Символом (а, Ь) обозначено скалярное произведение векторов а и Ь.
$ 1.08]
ГЛ. 1. СВЕДЕНИЯ ИЗ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
703
т компонент оптимального управления и*(х), п множителей Лагранжа %i(x) и
р множителей Лагранжа цл(х)). Эти функции определяются 2п
дифференциальными или интегральными уравнениями (8.1.09) и (8.1.28) н т -
(- р функциональными уравнениями (8.1.24) и (8.1.29), поэтому для
однозначного их определения необходимо иметь 2п краевых условии. Выше
написаны п q краевых условий (8.1.23) и (8.1.25). Остальные ti - q
краевых условий определяются равенствами [4]
Замечание 1. Если решается вариационная задача для функционала (8.1.27),
то необходимо иметь не 2п краевых условий, а 2га+1 (см. [20]).
Недостающее краевое условие имеет вид [9]
Замечание 2. Если оптимальное решение у*(х) и оптимальное управление
и*(х) принадлежат некоторому пространству непрерывных функций, то вместо
интегральных уравнении (8.1.28) можно воспользоваться эквивалентными им
дифференциальными уравнениями
которые вместе с (8.1.29) представляют уравнения Эйлера (§ 1.02) для
функции Лагранжа (8.1.30) (см. [20]).
Замечание 3. Обобщение теоремы Лагранжа, как и сама теорема Лагранжа (§
1.02), выражает лишь необходимое условие существования оптимального
решения и оптимального управления.
§ 1.08. Свойство множителей Лагранжа
на ломаных экстремалях.
Условие Вейерштрасса - Эрдмана
Если вектор управления и(х) претерпевает конечные разрывы в некоторых
точках х = а\, х = аг......х = ah, принад-
лежащих отрезку [х0, X]], то для существования ломаной экстремали
(экстремали, каждое звено которой также является экстремалью) необходимо,
чтобы выполнялось условие Веперштрас-са - Эрдмана.
Условие Вейерштрасса - Эрдмана. В точках разрыва (в угловых точках)
множители Лагранжа ?ч(х), ^{х), ...
(8.1.32)
(8.1.33)
704 ч. VIII. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКИ [§ 1.09
Еау, \х)
(х) -^- должны быть непрерыв-
i=1
ными.
Аналитически условие Вейерштрасса - Эрдмана в форме, удобной для задачи
Майера, выражается неравенством [20]
(М*)> f{y*{x), и"(х), х))>(М*), f(y*(x), и(х), х)), (8.1.34)
которое должно выполняться при любом х е [jCq, х,], в том числе и в
угловых точках х = а\, х = а2, х = а^.
В (8.1.34) вектор f(y*(x), и(х),х) вычисляется на минимали У*(х), а
вектор управления и(х) может быть любым, лишь бы удовлетворялись
уравнения связи (8.1.24).
§ 1.09. Принцип максимума Понтрягина
Пусть движение некоторого управляемого объекта описывается n-мерным
дифференциальным уравнением
^ = f(y. ")• (8-1.35)
Вектор-функция f(y, и) считается непрерывной по всем аргументам в (т + п)
-мерной области Dm+n=Y'X.U и непрерывно дифференцируемой по у е У. Если
m-мерный управляющий вектор и(х) задан, то при конкретных начальных
условиях уравнение (8.1.35) имеет единственное решение.
Наряду с уравнением (8.1.35) рассмотрим функционал
L [у (х), и (*)] = ^f0(y (х), и (х)) dx =
Х9
*1
= \fo(yi(x).....уп(х)\ и,(х).....um(x))dx, (8.1.36)
х,
для которого подынтегральная функция fo(y(x), и(х)) непрерывно
дифференцируема по всем аргументам в Dm+n-В фазовом пространстве У даны
две точки, уо и у. Необходимо найти среди допустимых управлений и(х),
переводящих движущийся объект из положения уо в положение у, такое
управление и*(х), для которого функционал (8.1.36) принимает наименьшее
возможное значение, т. е.
L [у* {х), и* (*)] = inf L [у {х), и (*)]. (8.1.37)
US и
§ 1.09) ГЛ. 1. СВЕДЕНИЯ ИЗ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 705
В (8.1.37) у*(х)-решение уравнения (8.1.35), удовлетворяющее условиям
У* (*о) = У a, y*(xi) = y¦ (8.1.38)
Выше было сказано, что уо и у задаются, а значения независимой переменной
х, х0 и Х\ не задаются, а определяются из
(8.1.38).
Для существования оптимального управления и*(д:) и оптимального движения
