Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
функцию х(/) можно определить из равенства
и(0 = ^-1 Р | +const, *(/)<0. (8.3.22)
На участке максимальной тяги x{t) определяете из дифференциального
соотношения
<8-3-23>
Равенства (8.3.22) и (8.3.23) определяют явную зависимость функции
переключения величины тяги n(t) от времени t, если решены обобщенные
уравнения Эйлера - Лагранжа (8.3.20), а р и М найдены как функции времени
t.
Если ускорение G - G(x,y,z), обусловленное внешней силой, не зависит от
времени, то уравнение (8.3.21) имеет первый интеграл
{р, G) - (p, v) + xm = C. (8.3.24)
§3.06] ГЛ. 3. НЕКОТОРЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ПОЛЕТА 717
На участке нулевой тяги и на участке промежуточной тяги (х(0 = 0)
интеграл (8.3.24) принимает вид
(р, G)-(p,v) = C, (8.3.25)
причем С сохраняет значение на всей оптимальной траектории.
Замечание. С = 0, если время перелета нефиксировано и подлежит
оптимизации [20].
§ 3.04. Определение импульсной тяги. Точки соединения
на оптимальных траекториях
Определение. Тяга Т называется импульсной при t=tlf
/ / \ j f dM \
если m(ti)=-(-oo (или, очевидно, = -ool.
В соответствии с условием (8.3.16) m = +оо, а это означает, что решение
вариационных задач с импульсной тягой может оказаться более простым
делом, так как ограничения вида
(8.3.16) или (8.3.17) отпадают.
Очевидно, участок приложения импульсной тяги вырождается в точку,
называемую точкой соединения. В точках соединения меняется лишь скорость
ракеты.
Теорема Лоудена [20]. В точках соединения функция переключения величины
тяги x(t) необходимо имеет нулевой максимум, т. е.
X(f)=dxj0e о. (8.3.26)
Лоуденом установлены [20], [60]-[62] также свойства оптимальной
траектории, на которой имеются точки соединения:
а) базис-вектор p(t) и его производная p{t) всюду непрерывны (в том
числе и в точках соединения);
б) на любом активном участке вектор тяги совпадает с базисом, причем
|р(0 | = Р (Р -некоторая постоянная);
в) на любом участке нулевой тяги |p(f) | ^ Р\
г) |р| = 0 во всех точках соединения, исключая те, которые совпадают с
конечными точками оптимальной траектории.
Кроме того, в точках соединения векторы p(t) и p(t) ортогональны
(р, р)= 0. (8.3.27)
§ 3.05. Максимизация высоты вертикального подъема
ракеты в однородном поле тяжести
Пусть исследуется движение ракеты при следующих предположениях:
а) ускорение силы тяжести постоянно, g= const;
б) вектор тяги направлен вертикально вверх;
718 Ч. VIII. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКИ |§ 3.05
в) скорость истечения частиц с постоянна;
г) сопротивление атмосферы отсутствует.
Если закон изменения массы (М = M0f(t)) известен, то интегрирование
уравнения вертикального подъема ракеты можно довести до конца.
Действительно, внешнее поле определяется силой F = -Mg, поэтому уравнение
(8.3.01) принимает вид
M^ = -Mg-c^. (8.3.28)
В результате интегрирования (8.3.28) имеем v (t) = v0 - gt + с In
или, так как М = M0f(t), (/(0) = 1, f(t) > 0),
v(t) = v0-gt-c\nf(t). (8.3.29)
Повторное интегрирование определяет высоту подъема ракеты как функцию
времени
t
H(t) = Vct--^--c\\nf(t)dt. (8.3.30)
о
Пусть На - общая длина всех активных участков, а Нп -
общая длина всех пассивных участков траектории. Тогда высо-
та подъема ракеты Нк равна
як = я*+яп.
1. Простейшая вариационная задача. Предположим, что выполнены условия
а) - г), и пусть.кроме того, заданы масса топлива Мт и некоторое ft-
параметрическое множество Ф функций f(t, ось аг, ал). Требуется решить
задачу о максимизации высоты подъема ракеты на множестве Ф.
Пусть fp -момент полного сгорания топлива. Тогда из соотношения
Mp - M0f{tp, d!, .......а*) - М0 - Мт (8.3.31)
можно найти tp как функцию параметров ось а2, "л- Обо-
значим эту зависимость через
tp = T(ah а2......аА). (8.3.32)
$ 3.05] ГЛ. 3. НЕКОТОРЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ПОЛЕТА 719
Формулы
vp = vQ - gT{au а2....a*) - cln(l - ^), (8.3.33)
т
НЛЩ, "2......ak) = vQТ - ~------c^\nf{i)dt, (8.3.34)
о
ЯПК а2, .... (xK) = -^- = -^-[u0-ff7'-cln(l -^-)] .
(8.3.35)
полученные из (8.3.29) и (8.3.30), выражают скорость ракеты и длины
активного и пассивного участков как функции параметров ОС], а.2, CLh-
Общая высота подъема ракеты равна
т
Нк(<*и аг, ..., ak)=v0T - - с J \nf(t)dt +
О
+ ^-h-gr-"l"(l-^)T- (8.3.36)
Соотношение (8.3.36) показывает, что задача о максимизации высоты Нк в
известном классе функций / еФ является задачей об исследовании на
экстремум функции k переменных "1, аг, ..., а* (см. [1], [9], [30],
[63]). Полное решение задачи для однопараметрических семейств функций
(f(t) = 1 - at и f(t) = = e-at, а > 0) дано в [47].
2. Общая вариационная задача. Уравнениям (8.3.13),
(8.3.14) можно придать форму
dH л dv | cffi __л dM i ________я /q л о*7\
------v = 0, - + g-w = 0, _ + /n==0. (8.3.37)
Если секундный расход топлива ограничен, то следует добавить еще условие
(8.3.17)
m(m - m) - а2 = 0.
Пусть, кроме того, заданы граничные условия: начальные условия t = 0, Н =
Н0, v = v0, М - М0, конечные условия t = tK, v = vK, М - Мк.
