Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
доставляющего экстремум функционалу (8.1.12), должны удовлетворять (кроме
уравнений связи (8.1.10)) уравнениям Эйлера-.
К (х) - множители Лагранжа.
Совместное решение системы уравнений Эйлера и уравнений связи позволяют
определить п-\-т неизвестных у\(х), у2(х), ... .... Уп{х)\ Кi(x), к2(х),
Кз(х).....Кт(х). Функции у{(х) необ-
ходимо решают вариационную задачу для функционала (8.1.12).
§ 1.03. Первая формулировка задачи Майера
Пусть {п + 1)-мерный вектор у(дс) = (у0(дс),У\(х)........уп(х))
удовлетворяет уравнениям связи
Ф( (х,у,у') = 0,
(t = 0, 1, 2...т<п)
и краевым условиям
у0(х0) = а0, у1{х0) = а1....Уп{х^ = ап,
У\{хх) = Ъ1....yn(xi) = bn,
где ао, сц, ¦¦¦, Ьп - заданные числа.
Среди гладких векторов у{х) найти такой, компонента уа{х) которого имеет
при х = Xi экстремум.
§ 1.04. Вторая формулировка задачи Майера
Пусть (п + 1)-мерный вектор у(х) = (у0(х), у^х), ..., уп{х))
удовлетворяет m уравнениям связи
(* = 1, 2,..., п), (8.1.13)
где функция Лагранжа F(x,y,y') равна
m
F(x, У, y') = fo{x, у, у')+ Ц Kf.Ax, у. у'), (8.1.14)
<Pi (х, у, у') = 0, *0 < * < х.
(8.1.15)
(t - 0, 1, 2.m<n)
700 ч. VIII. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКИ [§ 1.06
и р краевым условиям
у0{х0) = а0, У|(*о) -<*!......... (хо) - а", (8.1.16)
У\(хх)......ynUi)) = 0 {k = 0, 1, ..р <п + 1).
Среди гладких векторов у(х) найти такой, компонента уо{х) которого имеет
максимум в точке х = xi.
Задача Майера в такой формулировке относится к вариационным задачам "с
подвижными концами".
§ 1.05. Изопериметрическая задача
Пусть /г-мерный вектор у(х) = (ух(х), ..., уп(х)) удовлетворяет заданным
краевым условиям
ух (*0) - а,, у2(х0) = а2.....уп (х0) = ап,
уЛх1) = Ь1, у2{х1) = Ь2.....У,Лх1)=Ьп J
(fli, а2....ап, Ь\........Ьп - заданные числа) и интегральным
связям вида
*i
MiO= \fs(x> У> y')dx = cs (s=l, 2...............k), (8.1.18)
X,
где cs - заданные числа.
Среди всех кусочно-гладких векторов у(х) найти такой, который доставляет
экстремум функционалу
*i
["(*)]= $ Ы*. 0. V')dx. (8.1.19)
*0
Если числа cs произвольные, то множество допустимых функций (см. § 1.01)
может оказаться пустым, т. е. задача может не иметь смысла.
§ 1.06. Задача Больца
Пусть /г-мерный вектор у{х) = (ух (х), Уг{х), ..., уп(х)) удовлетворяет m
уравнениям связи
4>i(x, у, у') = 0, (" = 1........ <п) (8.1.20)
и р краевым условиям
V*(*o. У(хо), хи у(х1)) = 0 ik = \, 2, .... р<2я + 2). (8.1.21)
в 1.07] ГЛ. 1. СВЕДЕНИЯ ИЗ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 701
Среди всех кусочно-гладких вектор-функций у(х) найти такую, которая
доставляет экстремум функционалу
L0 \у (*)] = ^ h U. У, У') dx + g0 (лг0, у (лг0), хи у (л:,)).
(8.1.22)
Xо
Существуют и другие формулировки задачи Больца [45]. Заметим также, что
изопериметрическая задача, задачи Лагранжа и Майера могут рассматриваться
как частные случаи задачи Больца.
§ 1.07. Третья формулировка задачи Майера. Обобщение теоремы Лагранжа.
Характеристические уравнения (обобщенные уравнения Эйлера - Лагранжа)
В задачах механики космического полета применяется другая формулировка
задачи Майера.
Пусть n-мерный фазовый вектор у(х) - (у\(х), Уг(х), ... ..., Уп(х)),
описывающий состояние управляемого объекта, удовлетворяет л-мерному
дифференциальному уравнению
(8.1.09)
-§¦ = f(y,u,x) (x0<*<*i),
где и(х) = (и\(х), и2(х), ..., ит{х)) есть m-мерный вектор управления,
непрерывный при всех Хо ^ х ^ хи кроме, быть может, конечного числа точек
разрыва. Пусть л-мерный вектор f имеет непрерывные компоненты и частные
производные достаточно высокого порядка по всем аргументам у, и, х в
некоторой (п + т + 1) -мерной области Gn+m+\, для которой допустимые
значения у, и и х являются координатами внутренних точек. Пусть, кроме
того, известны начальные условия
Ук(хо) = Уко (*=1,2.........п), (8.1.23)
так что при заданном векторе управления и(х) существует единственное
решение уравнения (8.1.09), непрерывное по х, но с-разрывными
производными в точках разрыва вектора и(х).
Предположим, что на систему наложены связи, описываемые р равенствами
gs = (.У\...Уя\ "1..... ит\ *) = 0 (s = 1, 2.... р<т), (8.1.24)
где gs{y,u,x)-непрерывные и достаточное число раз дифференцируемые
функции по всем аргументам. Функции gs{y,u,x) должны быть такими, чтобы
соответствующие им координаты Уи У2, ¦¦¦, Уч, Я ^ п принимали заданные
значения при х = х\\
yi(xi) = yi,i (1= 1, 2, ..., q). (8.1.25)
702 Ч. VIII. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКИ [§ 1.07
Обозначим через yq+i,i, yq+2,1, .... уп,\ значения переменных
Уя+и Уя+2.....Уп при х = Xi. Заметим, что уд+и уя+2, ..., уп не
связаны краевыми условиями (8.1.25).
Задача Майера для заданного х = х}. Необходимо определить такой
управляющий вектор и*(х), чтобы при и(х) = = и*(х) соответствующее ему
решение векторного уравнения
(8.1.09) у*(х) удовлетворяло уравнениям связи (8.1.24), краевым
условиям (8.1.25), а заданный функционал
^[^/<7 + 1.1" У<7 + 2, I" •••! Уп,\] (8.1.26)
принимал бы минимальное значение (см. [20]).
