Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
машины.
Описание принципа максимума и метода динамического программирования с
точки зрения приложений в механике космического полета можно найти в
сборнике [12].
§ 1.01. Понятие функционала
Определение 1. Пусть У- множество (или пространство) функций у(х) (у(х)^
У, a sg х ^ b), a R- некоторое множество чисел L(L^R). Функционалом
L\y{x)] называется однозначное отображение функционального множества У на
числовое множество R [2], [3], [45]. Множество У называется областью
определения для функционала Ь[у(х)]; у(х) является аргументом функционала
L[y(x)] (см. [2], [3], [45]).
Определение 2. Вариацией аргумента у(х) функционала Ь(у) называется
Ьу = у(х) - У\(х) [у [х) е Y, ух (х) е У). (8.1.01)
Аналогично определяются вариации производных аргумента, если у(х) ft-
дифференцируема на а ^ х ^ Ь:
?>У' = у' (*) - у\ (*), 6у" = у"(х)-У?(х),
ЬуЮ = у(к) (х) _ уЮ (*).
Кроме того, имеют место равенства
(&у)' = Ьу', [Ьу)" = Ъу"...(&у)^ = (,у^. (8.1.02)
Определение 3. Функциональное пространство называется метрическим, если
для него определено расстояние (введена метрика). Расстоянием p(t/i, У2)
между двумя произволу-
§ 1.01]
ГЛ. 1. СВЕДЕНИЯ ИЗ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
697
ными элементами у\(х) и у2(х) множества Y называется некоторая функция,
удовлетворяющая следующим условиям:
а) Р(Уи г/2) = Р(i/2, У\) для любых уi(x)(= Y и г/2(х)е У.
б) р(Уи Уя) > 0 при у\фуъ p(i/i,i/i)=0 для любого
й(*)е У;
В) р(г/1, Уз)^р(Уи г/г)+р(г/2, Уз) Для любых y{(x)^Y, у2(х)е У, уз(х)^ Y
(неравенство треугольника (см. [3]).
Здесь в качестве расстояния между элементами у\(х) и Уг(х) пространства У
примем
Р(г/i. г/г) = Z sup 11/J*> (х) - уЫ (*) |. (8.1.03)
s=0 а < х < Ь ' 1
Число k может равняться 0, 1, 2 и т. д.
Определение 4. Функционал L\y(x)] называется непрерывным на кривой у -
г/о (я) в смысле близости k-го порядка, если для любого е > 0 существует
такое число 6 > 0, что при р{У> Уо) < б выполняется неравенство
\L[y(x)]~ L[y0(x)]\<e, 1
уМ^У, y0{x)<=Y. 1 (8.1.04)
Определение 5. Функционал L [у (х)] называется линейным, если
^ [су (*)! = cL [у (*)], 'i
L[yi(x) + yAx)] = L[yi(x)] + L[y2(х)\. ) ^Л-05)
Пусть У есть я-мерная область в я-мерном пространстве фазовых координат у
= (г/i, г/г, Уп), U- множество т-мерных функций и=(щ, и2, ..., um) (u^U),
управляющих изменением фазового вектора у(х), a Dn+m~ У X U (декартово
произведение У и U).
Определение 6. Пара вектор-функций (у(х), и(х))е е Dn+m называется
минимизирующей парой или минималью, если она доставляет минимальное
значение функционалу L[y(x), и(х)\, (я + т)-мерная область Dn-ym
называется областью допустимых функций. Пара (у(х), и (х)) е Dn+m,
доставляющая экстремум функционалу L, называется экстремалью (см. [37],
[38]).
Пусть из Dn+m можно выделить такое подмножество допустимых функций,
принадлежащих однопараметрическому семейству у(х, ц), и(х, ц), где ц -
параметр, что при ц = 0 получаем минималь
У (*. 0) = у (*), и (х, 0) = и {х). (8.1.06)
698 ч. VIII. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКИ [5 1.08
Определение 7. Первой вариацией функционала L[y, и], определенной на
однопараметрическом семействе (у(х, ц),
и(х, [i)), называется функционал
I = (¦?)"_" (8.1.07)
Аналогично определяется вариация /е-го порядка:
L('W),"M] = (0) (8Л-08)
Вариационное исчисление занимается исследованием экстремальных значений
различных функционалов, однако для астродинамики наиболее важными
являются методы, позволяющие находить экстремумы функционалов не на
произвольных функциональных множествах У, а на множестве решений
некоторой системы дифференциальных уравнений вида
^r = f{y,u,x), (8.1.09)
где у(х)-"-мерный фазовый вектор, определяющий положение движущегося
объекта, и(х)-тя-мерный управляющий вектор.
§ 1.02. Задача Лагранжа. Множители Лагранжа.
Уравнения Эйлера
В динамике космического полета иногда рассматриваются вариационные
задачи, использующие лишь классические уравнения движения, в которых не
участвуют управляющие функции. Для решения задач такого рода могут найти
применение вариационные задачи Лагранжа, Майера, изопериметрическая
задача, задача Вольца.
Пусть /i-мерный вектор у{х) = {у\{х), у2{х).....уп(х)) удо-
влетворяет m уравнениям связи вида
Ы*> У(х), у'(х)) = 0, (* = 1, 2.....пг<п) (8.1.10)
и р краевым условиям
¦ф*(-Ко. у(хо). XU у{х,)) = 0 {k=l, 2....р<2п + 2). (8.1.11)
Задача Лагранжа. Среди всех кусочно-гладких векторов у(х) найти такой
у{х), который доставляет экстремум функционалу
L\y{x)\= \fo(x. У, у')dx. (8.1.12)
Необходимое условие существования решения для этой задачи сводится к
достаточной гладкости функций fs (s = 0, 1, .,,
s 1.04
ГЛ, 1. СВЕДЕНИЯ ИЗ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
699
..., т) и (k = 1, 2, ..., р). Условия, наложенные на fu фь и другие
функции, участвующие в формулировках перечисленных задач, приводятся,
например, в [45].
Для определения вектора экстремали у(х) можно воспользоваться теоремой
Лагранжа.
Теорема Лагранжа. Компоненты yi(x)(i - 1, 2, ..., п) вектора у(х),
