Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
закону (/(0 = 1 - at, а = const, а > 0) порождает постоянную
силу тяги Т = const (при с = const), а изменение массы по по-
казательному закону (f(i) = e~at, а = const, а > 0) порождает постоянное
ускорение ракеты.
Определение. Функция
т(0 = -4г = -^г (8-зл°)
называется расходом массы в единицу времени (например, секундным
расходом), а функция
(8'ЗЛ1)
называется удельным расходом топлива в единицу времени. Определение.
Число
п=Ц- (8.3.12)
(где ар - ускорение, сообщаемое ракете тягой, g- ускорение силы тяжести)
называется перегрузкой или величиной перегрузки.
Для показательного закона изменения массы перегрузка постоянна.
Подробно эти вопросы рассмотрены в [20], [47], [49], [51].
714 ч. VIII. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКИ [§ 3.02
§ 3.02. Развернутая форма характеристических уравнений для задачи о
движении ракеты
Пользуясь формулой для секундного расхода топлива (8.3.10), уравнение
движения ракеты (8.3.01) при наличии внешней силы Ф можно написать в виде
? = + lf = '> (8-ЗЛЗ)
где I - единичный вектор направления тяги, r = (x,y,z)-радиус-вектор
ракеты в неподвижной системе координат Oxyz,
G = -^-(r), с - модуль относительной скорости истечения газов.
К уравнениям (8.3.13) можно присоединить еще три условия:
а) условие (8.3.10)
(8.3.14)
определяющее массу ракеты, если известна зависимость секундного расхода
топлива от времени;
б) тождество
mW* + /v + ?^l, (8.3.15)
где 1Х, ly, U - направляющие косинусы вектора тяги;
в) условие ограниченности секундного расхода топлива
0 <m(0<m, (8.3.16)
где т-максимальное значение секундного расхода топлива. Неравенство
(8.3.16) эквивалентно уравнению [52]
m(m - m) - а2 = 0, (8.3.17)
где а - вспомогательная управляющая переменная.
Управляющая вектор-функция ы(*) в общем случае имеет компоненты lx, lv,
U, т, а. Величины lx, ly, lz характеризуют ориентацию вектора тяги, а -
ограниченность т(t). Если управляющий пятимерный вектор ы(я) известен и
непрерывен, то при заданных начальных условиях
t = tQ, v = v0, г = г о, М = М0 (8.3.18)
траектория ракеты и закон изменения массы М определяются единственным
образом (если сила есть непрерывная функция).
Пусть требуется определить такую оптимальную траекторию
ракеты, на которой некоторый функционал L[v, г, М] принимает
минимальное значение при t = t\.
в 3.031 гл. 3. НЕКОТОРЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ПОЛЕТА 715
Функция Лагранжа (8.1.30) в данном случае будет иметь
вид
F(r, v, I, т, a, t) = - (р, I + б) - (Л, ") +
-f vm + lii (I * f - 1) + М-2 [m - m) - a2], (8.3.19)
где
P (0 = (Px. Py, Рг), A {t) = (Ax, Ay, Аг), V (t), ll! (t), 1i2 (t)
- множители Лагранжа.
Система характеристических уравнений (8.1.33) и (8.1.29) с функцией
Лагранжа (8.3.19) имеет вид
dpx
dt
dAx
- Л,,
Лгу
dt
~Ау
dp г ~dt
= - Л,
dt
( dG\ dhy ( dG \
lP' ~dTj' dt = \P' ~dy~)'
dt \P' dz ) '
dv cm ,
= Пыг(Р, I),
dt
(8.3.20)
0 = -~Px + 2^lx, o = -^py+ 2^,
° = -
0 = -^-(p, 1) + \ + р.2{т - 2т),
0 = - 2(i2a.
Система (8.3.20) содержит семь дифференциальных и пять алгебраических
уравнений.
§ 3.03. Определение базис-вектора и р-траектории. Определение функций
переключения
Определение. Вектор р с компонентами р*, ру, pz [см.
(8.3.19)] называется базис-вектором траектории [20].
Пользуясь обобщенными уравнениями Эйлера - Лагранжа
(8.3.20), можно показать [20], что вектор тяги Т коллинеарен базис-
вектору р.
Определение. Годограф базис-вектора р называется р-траекторией.
Определение. Функция, определяющая порядок составления экстремалей из
частичных участков (дуг), называется функцией переключения [53], [54].
Можно различать функцию переключения величины тяги x(t) и функцию
переключения направления тяги 6(0- Аналити-
716
Ч. VIII. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКИ [§ 3.03
ческий вид функций x(t), б(t) существенно зависит от решаемой задачи и от
участка оптимальной траектории.
Анализ обобщенных уравнений Эйлера - Лагранжа, выполненный Миеле [55],
Лейтманом [56], Миеле и Капеллари [57], Фридом [58], Лоуденом [18], [20],
[59], [60] и другими авторами, показывает, что оптимальная траектория
(экстремаль) может состоять в общем случае из дуг следующих типов:
участки нулевой тяги (т(/) = 0 и функция переключения величины тяги
неположительна, х(0^0), участки промежуточной тяги
(0 <m(t)<in, функция переключения величины тяги равна нулю, и(<) = 0) и
участки максимальной тяги (m{t) = т, функция переключения величины тяги
неотрицательна, x(t)^ 0). Для двумерных (или большей размерности)
оптимальных траекторий функция переключения направления тяги
неотрицательна, б (t) ^ 0.
Лоуден показал [20], что базис-вектор p(t) удовлетворяет векторному
дифференциальному уравнению
-g- = V(p, G), (8.3.21)
где векторный оператор V определяется формулой
Г7 ^ I <9 г д
V - е* дх + еУ ду ег дг '
а ех, еу, ег - единичные векторы.
Лоуден также вывел [20] равенства, связывающие функцию переключения
величины тяги с базис-вектором и массой ракеты. На участке нулевой тяги
