Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
Лоудена [20], [77]-[79]. В частности, Лоуден показывает, что для малых
углов ср тяга на участке промежуточной тяги направлена по биссектрисе
угла между касательной к траектории и трансверсалью PQ.
§ 4.04. Уравнение для базиса-вектора
на участке максимальной тяги
при движении ракеты в ньютоновском поле тяготения
Участок максимальной тяги полностью определяется теми же семью
величинами, которые приведены в § 4.03, с той лишь разницей, что модуль
реактивного ускорения а принимает максимальное значение
где т - величина, ограничивающая секундный расход топлива [см. (8.3.16)].
В силу этого на участке максимальной тяги необходимо решать те же
уравнения (8.4.12) - (8.4.18) с заменой т на т. Принципиально трудности,
встречающиеся при интегрировании уравнений для участка промежуточной
тяги, остаются и здесь.
§ 4.05. Метод р-траекторий. Структура
оптимальной траектории
В книге Лоудена [20] рассмотрено движение ракеты по оптимальной
траектории при следующих допущениях:
а) оптимальная траектория - кривая, лежащая в плоскости, проходящей
через центр притяжения;
б) поле тяготения ньютоновское;
в) время перелета не фиксировано и подлежит оптимизации;
г) все участки максимальной тяги суть точки соединения.
Предположение а) означает, что базис-вектор р является
двумерным. Предположение в) упрощает интегрирование уравнений для базиса-
вектора р (см. §§ 4.02, 4.04), так как согласно замечанию из § 3.03
первый интеграл (8.3.25) уравнений для базиса-вектора имеет более простой
вид. Предположение г) означает, что максимальная тяга аппроксимируется
импульсами.
Если уравнения для базиса-вектора проинтегрированы и, следовательно,
известна явная зависимость проекций базиса-
ракеты г и Г0,
(8.4.19)
734 Ч. VIII. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКИ [§ 4.06
вектора рх и ру от времени или от другого параметра (например, от
истинной аномалии), то, исключая время, получим уравнение р-траектории,
содержащее модуль базиса-вектора. Аналитический вид уравнения р-
траектории весьма громоздок даже для участка нулевой тяги [20], а для
других участков оптимальной траектории получение уравнения р-траектории
встречает непреодолимые трудности, связанные с интегрированием уравнений
(8.4.12) -(8.4.18).
Исследование на экстремум модуля базиса-вектора как функции истинной
аномалии, выполненное Лоуденом [20], [77], [78] для определения
постоянной Р (см. § 3.03), позволяет сделать вывод: если один из участков
оптимальной траектории является пассивным и представляет дугу конического
сечения и он начался (или закончился) в результате действия импульса,
приложенного в апсидальной точке и направленного по касательной к орбите,
то тогда и все остальные участки траектории являются пассивными и точки
соединения всегда совпадают с их апси-дальными точками. В частности, если
дуга круговой орбиты является частью оптимальной траектории, то и все
остальные пассивные участки оптимальной траектории являются дугами
конических сечений с совпадающими осями. Таким образом, оптимальная
траектория состоит из пассивных участков (дуг конических сечений),
началами и концами которых являются точки соединения.
§ 4.06. Связь между величиной импульса
и элементами эллиптической орбиты
Формулы задачи двух тел позволяют написать следующие соотношения (рис.
85):
Vq = s л/ fm0p sin ф - q
= s Vfm0p sin ф - 9 VfmoP sin (u - co) cos ф, (8.4.21)
vT = s vfmoP sec ф - Vq tg ф,
(8.4.22)
где
(8.4.23)
p - параметр эллипса.
В результате действия мгновенного импульса Т положение ракеты и проекция
vQ остаются неизменными, а изменяются
§ 4.07J
ГЛ. 4. МЕЖОРБИТАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ
735
лишь элементы орбиты р, q, ш и, конечно, в первую очередь vT. Если
обозначить через pi, q\, соi элементы новой эллиптической орбиты, то
очевидно, что
(ur)i = s VfmoPi sec ф - vQ tg ф
(8.4.24)
и, следовательно,
Лиг = (Uj-Jj - vT =
= s -y/fmo (Vpi - Vp ) sec Ф-
(8.4.25)
Приращение Лиг определяет величину приложенного импульса.
В практических расчетах р11с. 85. связь между импульсом и элемен-
VTTnfiHPP имргтп С8 4 2П ПОЛЬ- тами орбиты. О -притягивающий центр
удоонее вместо (,0.4.Z1; ПОЛЬ с массой П-перицентр эллиптической
зоваться равенством о.эбиты; Р - положение аппарата в произ-
г вольный момент времени; vf, ou-радиаль-
O'Sinfw - со) = ная и трансверсальная компоненты ско-
рости; Г -импульс; Vj* и vq - компоненты скорости аппарата в направлении
приложенного импульса и перпендикулярного к нему.
У/'/ЛоР
(8.4.26)
Таким образом, параметры обеих орбит должны удовлетворять следующим
соотношениям:
q cos (и - со) = s - р~',
q sin {и - со) = ( s-------.-_ .- J tg ф,
\ yfm0p sin ф J
<7! cos (u -co1) = s -Pf1.
?! sin (и - C0j) = ( s-----т=Ц- J tg Ф-
\ yfmapiSinq>J
(8.4.27)
Анализ уравнений (8.4.27) и вывод аналитических выражений для частных
производных импульса по элементам сделан Лоуденом [12].
§ 4.07. Оптимальный л-импульсный переход между двумя заданными
компланарными эллиптическими орбитами
