Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
С использованием такой методики в работе [75] была построена таблица
приближенных орбит перелета Земля - Венера. Там же изложена методика
учета дифференциальных поправок к элементам, вызванных различными
отклонениями в координатах точек и М2.
Замечание. Аналогичная методика применима и для определения параметров
параболических и гиперболических орбит перелета [76], только в этих
случаях последнее уравнение системы (8.4.01) должно быть заменено
соответствующим динамическим уравнением (см. ч. II, §§ 2.03, 2.04).
§ 4.02. Уравнение для базиса-вектора на участке нулевой тяги
при движении ракеты в ньютоновском поле тяготения
Базис-вектор р, коллинеарный вектору тяги Т (см. § 3.03), удовлетворяет
векторному дифференциальному уравнению
(8.3.21)
-g- = V(p,G). (8.4.04)
Если внешнее поле потенциально, то уравнение (8.4.04) принимает вид [20]
-g- = (p,VG), (8.4.05)
где VG - скалярное произведение вектора V и вектора G. Можно показать
[4], что справедливо тождество
(p,V) = |p|^-, (8.4.06)
где означает дифференцирование по направлению базиса-вектора р.
Тождество (8.4.06) позволяет придать уравнению для базиса-вектора
(8.4.05) форму
Ж "If'4?- (8.4.07)
Уравнения (8.4.05) и (8.4.07), определяющие базис-вектор p(t),
справедливы для любого потенциального внешнего поля. Если движение ракеты
происходит в ньютоновском поле, то
G = --^r. (8.4.08)
§ 4.021
ГЛ. 4. МЕЖОРБИТАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ
731
Пользуясь (8.4.08), уравнение (8.4.07) можно привести к виду ¦^==^(P,r)r-
^p. (8.4.09)
Однако ни одно из уравнений (8.3.21), (8.4.05), (8.4.07), (8.4.08),
рассматриваемых изолированно, не определяют базис-вектор р(0. так как они
содержат и другие неизвестные (например, г), поэтому указанные уравнения
нужно рассматривать в совокупности с уравнениями Эйлера (8.3.20) и
уравнениями движения (8.3.13).
На участке нулевой тяги движение ракеты в ньютоновском центральном поле
происходит по коническому сечению, поэтому зависимость радиуса-вектора г
от времени t известна (см. ч. II, § 3.06). Это облегчает решение
уравнения для базиса-вектора.
Лоуден доказал [20], что компоненты Щх, Qy, Qz (в системе координат OXYZ
ось ОХ направлена по радиусу-вектору ракеты; ось OY лежит в плоскости
орбиты по направлению движения ракеты; ось OZ перпендикулярна к плоскости
OXY) вспомогательного вектора q, связанного с базисом-вектором р
равенством
p = \r\q, (8.4.10)
определяются из системы уравнении
d2?>
dgv
3 г
de2 d2qy dB2 ~т ~ d& d>qz
de p
dqv 4- 2 x =0
Ях>
dQ2
+ Qz - 0.
(8.4.11)
где p - параметр орбиты, 0 - полярный угол ракеты в неподвижной системе
координат.
Полярный угол 0 определяется интегралом площадей (см. формулу (2.1.19))
поэтому его также можно считать известной функцией времени.
В книге Лоудена [20] приведены компоненты рх, ру, Рг ба-зиса-вектора как
явные функции истинной аномалии. Явная зависимость р от времени содержит
бесконечные ряды, так как переход от истинной аномалии ко времени связан
с решением уравнения Кеплера (см. ч. II, § 2.01).
732 Ч. VIII. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКИ [§ 4.03
§ 4.03. Уравнение для базиса-вектора
на участке промежуточной тяги
при движении ракеты в ньютоновском поле тяготения
Нахождение явной зависимости базиса-вектора от времени для участка
промежуточной тяги в общем виде представляет собой неразрешимую задачу.
Однако, как показал Лоуден [20],. [77], [78], если участок промежуточной
тяги лежит в плоскости,
проходящей через притягивающий центр, то такое решение может быть
получено.
Участок промежуточной тяги полностью определяется семью неизвестными
функциями времени: поляр,-ные координаты ракеты г и 0, компоненты
скорости ракеты v в системе координат PTQ (рис. 84), Vt и vq, углы Ф и
tJj и абсолютная величина реактивного ускорения а = ст/М (т - секундный
расход топлива, с - модуль скорости истечения газа, М - масса ракеты).
Перечисленные семь неизвестных функций определяются из следующих
уравнений:
2
Рис. 84. Участок промежуточной тяги. PTQ - подвижная прямоугольная
система координат, основная ось которой РТ направлена вдоль тяги Т.
dvT dty
dt V0 dt
dvQ d\!p
dt + X>T dt
(d*\*
\dt )
d2 Ф
dt2
Тр + ф = т + 0, fm0
(8.4.12)
= а
51Пф,
-j-cosqp,
d2 ф 3 fm0 .
-- =------------------- sin ф COS ф,
dr , dQ
Vj = -тг sm ф + г -rr sm ф cos ф,
dr . dQ .
vQ = - cos Ф + r -jj- sin ф.
(8.4.13)
(8.4.14)
(8.4.15)
(8.4.16)
(8.4.17)
(8.4.18)
Уравнение (8.4.12) очевидно (см. рис. 84). Уравнения (8.4.13) и (8;4.14)
описывают движение ракеты [см. (8.3.01)] в системе координат PTQ.
Уравнения (8.4.15) и (8.4.16) определяют проекции базиса-вектора р на оси
РТ и PQ. Уравнения (8.4.17) и
§ 4.05]
ГЛ. 4. МЕЖСРБИТАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ
733
(8.4.18) выражают связь между проекциями скорости ракеты vT, Vq и
радиальной и трансверсальной компонентами скорости
Интегрирование уравнений (8.4.12) - (8.4.18) существенно упрощается, если
время перелета не фиксировано. Соответствующие результаты можно найти у
