Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
Полное решение вариационной задачи для функционала L = hi (hi - высота
ракеты, достигаемая при t = 11) дано Jloy-деном [20].
Предполагалось, что Q(h,li) и g(h) -монотонно убывающие функции высоты h,
а
(А, р, у - некоторые параметры; А зависит от миделева сечения ракеты,
р>0). Как показал Лоуден, оптимальная траектория состоит либо из двух
участков (участок максимальной тяги m(t) = ли участок нулевой тяги т =
0), либо из трех участков (участок максимальной тяги, участок
промежуточной тяги и участок нулевой тяги). См. также [65].
§ 3.10. Задача о максимизации полной энергии космического аппарата
F = - (cm-Q-Mg) - Ahv + vm + ц [т(т-т) - а2], (8.3.54)
Ип п f)Q
dt Ы dh ' dh )Ph'
dv ________ cm - Q
dt M2 Ph'
0 = - Ph + v + ii(m - 2m), 0 = - 2ац.
(8.3.55)
Q(h, к) = Ае-**(^)V
Формулировка задачи. Требуется найти такой маневр, чтобы полная энергия
ракеты была максимальной в некоторый (свободный для выбора) момент
времени t = 11.
§ 3.10] ГЛ. 3. НЕКОТОРЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ПОЛЕТА 727
Задача решается при следующих предположениях:
а) внешнее силовое поле консервативно;
б) начальная точка траектории r(t0), начальная скорость v(t0) и
начальная масса ракеты М0 заданы:
в) масса ракеты Мр (без топлива) известна;
г) конечная точка траектории r(t{) и конечная скорость и(^) заранее не
известны;
д) секундный расход топлива ограничен.
Полная энергия ракеты Н равна
(MV(x, у, г)-потенциальная энергия ракеты), поэтому сформулированная
задача является вариационной задачей о нахождении минимума функционала
Эта задача относится к разряду задач Майера (см. § 1.07), поэтому для
нахождения оптимального решения (шестимерного вектора с компонентами х,
у, z, vx, vy, vz), оптимального управления (пятимерного вектора с
компонентами 1Х, 1У, 1т,пг,а), множителей Лагранжа рх, ру, pz, А*, Ау,
Az, v, Ц1, цг необходимо совместно решить уравнения движения ракеты
(8.3.13) (система шестого порядка), характеристические уравнения (8.3.20)
(семь дифференциальных уравнений и пять алгебраических уравнений),
уравнение (8.3.14), равенства (8.3.15) и (8.3.17).
Совместная система 21 уравнения (8.3.13) - (8.3.15), (8.3.17) и (8.3.20)
состоит из четырнадцати дифференциальных уравнений и семи алгебраических
уравнений, поэтому для определения оптимального решения и оптимального
управления необходимо иметь четырнадцать краевых условий. Восемь из них
даны в формулировке задачи:
Остальные шесть краевых условий определяются равенствами
(8.1.31) и имеют вид
где
при t = t0 r - r0, V - v0,
при t - tx М = МР.
(8.3.57)
Рх(* i) = V
728 ч. VIII. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКИ |§ З.П
Условия (8.3.58) эквивалентны [20] условиям
Р(* i) = v(tl), P(ti) = G(xuyuz), (8.3.59)
т. е. в конечной точке траектории базис-вектор совпадает с конечной
скоростью, а производная базис-вектора равна ускорению, обусловленному
внешним полем.
Подробный анализ уравнений (8.3.13) - (8.3.17), (8.3.20) с краевыми
условиями (8.3.57) и (8.3.58) проведен Лоуденом в работах [20], [61].
Здесь же рассмотрена задача без предположения д).
§ 3.11. Задача о минимизации
характеристической скорости маневра
Формулировка задачи. Требуется минимизировать характеристическую скорость
маневра (8.3.05) при условии, что конечные точки (r(t0) = r0, r(*i) = ri)
траектории и скорости (i>(/o) = i>o, w(rfi) = vi) в конечных точках
заданы, а сам момент ti не фиксирован.
Минимизируемый функционал выражается формулой (8.3.05)
L = c ln-Js-. (8.3.60)
/Ир
Анализируя эту задачу, Лоуден показал [20], что нз любом активном участке
оптимальной траектории базис-вектор должен быть единичным вектором (р=1),
коллинеарным с вектором тяги.
Теория оптимальных движений ракет в однородном поле тяжести получила
значительное развитие и в работах [27], [41], [42], [74].
Глава 4
МЕЖОРБИТАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ
,Мг(гг,иг)
Рис. 83. Орбита перелета. AfjAfi - дуга эллиптической орбиты, проходящей
че,:ез заданные точки М\ и Mt.
В главе 4 приводятся основные сведения о межорбитальных перелетах. Дана
постановка ряда оптимальных задач динамики космического полета.
§ 4.01. Простейшая краевая
задача
Требуется найти элементы эл липтической орбиты р, е, со, имею щей одним
из фокусов притягиваю щий центр О с массой т0 и прохо дящей через две
заданные точки М и М2, если время перелета Т из М в М2 известно (рис.
83).
Уравнения, определяющие элементы р, е, ш, имеют вид
P = ri [1 + ecos(tii - to)] (t = 1, 2), "J
" " t • п ¦ п\ v7m0 (1 -е2)3 т г (8.4.01)
Е, - Е, - е (smE2 -- sm?]) =------^-Ц=-- Т, I
Р Ыр )
где Е\, Е2 - значения эксцентрической аномалии для точек М\ и М2.
Для однозначного определения неизвестных следует к уравнениям (8.4.01)
добавить соотношения
sin (и, - ш') Vl - е2 cosfu, -щ}+е
sin?,• = -rV------т1----г~. cosEt = , , к 1 . } т. 8.4.02
1 1 + * cos (и1 - (c)) 9 1 I+ecos("i -(c)) 4 1
Выбор значений Еj и Е2 следует выполнять с учетом условия
sign tg - -^signtg-y- (i = 1, 2). (8.4.03)
730 ч. VIII. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКИ [§ 4.02
