Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
абсцисс, определяется формулой
где С1, Сг, Сз, С4- постоянные интегрирования;
3) если функционал L не зависит явно от и и v, то угол 0 постоянен;
4) оптимальная начальная скорость параллельна вектору тяги (если L =
L(t, х, у, т));
5) если L не зависит от х, то тангенс угла 0 является линейной
функцией времени.
Используя функции переключения и(/) и б(/), связанные с множителями
Лагранжа формулами
и (0 = (рх cos 0 + ру sin 0) - v, б (t) = рх cos 0 + ру sin 0,
можно показать [12], что экстремаль состоит не более чем из грех участков
и разрыв в направлении вектора тяги возможен только при условии Рх = Ру -
0.
Задача об оптимальном запуске искусственного спутника, решенная Лоуденом
[20], является частным случаем изложенной задачи.
§ 3.08. Общая вариационная задача
для движения ракеты в однородном поле тяжести
при наличии аэродинамического сопротивления
Пусть движение ракеты исследуется при следующих допущениях (см. рис. 82):
а) Земля считается плоской и ускорение силы тяжести постоянно, g =
const;
6) скорость истечения частиц с постоянна;
в) сила сопротивления атмосферы Q зависит от высоты ракеты над
горизонтом у, скорости d и от подъемной силы Fn;
г) вектор тяги Т(ТХ,ТУ) лежит в вертикальной плоскости Оху, проходящей
через точку запуска О;
д) на величину секундного расхода топлива m(t) наложено ограничение
(8.3.16) или, что то же самое, (8.3.17).
724
Ч. VIII. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКИ If З.ОЙ
Тогда уравнения движения ракеты вместе с условиями связи
(8.3.14) и (8.3.17) имеют вид
dx dy
~ -^-=0 81Пф,
_ Q (у, о, м
dt U COS ф,
dv . , cm
' = g Sin ф + -j-r- COS Y -
M
dt
dq> _ g cos ф i fn + cm sin у (8.3.49)
dt v Mv
dM
m [m - m) - a2 = 0.
Формулировка задачи. В классе функций x(t), y(t), v(t), ф(/), M(0> m(0>
"(0> Y(0. Fn(t), удовлетворяющих уравнениям (8.3.49) и некоторым
граничным условиям (число которых должно быть менее 12), найти такую
систему функций, которая минимизирует некоторый функционал
L=L(x,y,v,y,M,t).
Функция Лагранжа (8.3.19) и соответствующие уравнения Эйлера - Лагранжа
имеют вид
/ . Q - cm cos уЛ ( g cos ф . Fп + cm sin y\
F = -pv[- g81ПФ--------------- p"(- - +----------------------
- Axv cos ф - Ayv sin ф + vm -f ц [m (th - m) - a2], (8.3.50)
dA,
dt
0,
dh.u
dt
Pv dQ M dy '
-dPjL = _ А^СОБф - Л#5Шф + ^ -
dt
M do
pvg совф рф (Fn + cm sin y)
о2 Mo1
dp n Pag sin ф
PvS cos Ф-------------Й--------h sin Ф - Avv cos Ф.
dt dv
dt ~~ Pv
(8.3.51)
Q - cm cos у
M2
Fn + cm sin у Wo
pvc cosy
°= M
0 = - 2ца,
0 = Pu sin y -
Pq>csinY , i /- о \
""ПЙ5--------hv + |i(m-2m),
Pqjcosy n dQ рф
D ' - Po ~dF\i tT ¦
В формуле (8.3.50) p", pv, Ax, Av, v, ц - множители Лагранжа.
Анализ уравнений (8.3.51) при различных предположениях относительно
функционала L, силы сопротивления Q и размер-
[§ 3.09 ГЛ. 3. НЕКОТОРЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ПОЛЕТА 725
ности задачи, выполненный Миеле [68], [69], Лейтманом [70], Брайсоном и
Россом [71] и др., позволяет сделать следующее заключение.
1) При наличии сопротивления атмосферы оптимальная траектория состоит
из участков нулевой тяги, максимальной тяги и промежуточной (переменной)
тяги.
2) Оптимальная программа подъемной силы Fu является непрерывной
функцией времени.
3) Функции переключения величины тяги и направления тяги определяются
формулами
с ( I P<tsin4\
* (*) = лГ C0S Y ^------v-) ~ v-
(8.3.52)
.,,ч . РфСОву v '
e(*) = P.C0SY + -^-.
Если уравнения Эйлера- Лагранжа разрешены относительно искомых функций,
то равенства (8.3.52) позволяют задать функции переключения как явные
функции времени.
4) Для планирующих траекторий (Г = 0) оптимальная программа полета
достигается в том случае, когда сила аэродинамического сопротивления
минимальна по отношению к скорости при постоянных значениях уровня
энергии и подъемной силы.
Достаточно подробно эта задача изложена в главе IV монографии [12].
Полное решение простейшей вариационной задачи (задачи о максимальном
движении ракеты в сопротивляющей атмосфере) дано А. А. Космодемьянским
[47]. Можно также указать на интересные результаты Оберта [51], А. А.
Космодемьянского [72], Д. Е. Охоцимского [73].
§ 3.09. Определение оптимальной программы тяги
при вертикальном подъеме ракеты в неоднородном поле
тяготения в сопротивляющейся атмосфере
Формулировка задачи. Найти такую программу для величины тяги, которая
обеспечивала бы максимальную высоту вертикального подъема ракеты при
следующих предположениях:
а) поле тяготения неоднородно (g - g(h), h - высота ракеты) \
б) сила аэродинамического сопротивления - известная функция Q =
Q{h,h)\
в) вектор тяги направлен вертикально вверх]
г) секундный расход топлива m(t) удовлетворяет условию
(8.3.17).
726 Ч. VIII. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКИ 1$ 3.10
Система уравнений задачи имеет такой вид:
dv Q - cm
ИГ ~~ м
(8.3.53)
т(т - т) - а2 = 0.
Функция Лагранжа и соответствующие характеристические уравнения
записываются следующим образом:
