Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
А. А. Космодемьянского [47]. Там же доказаны основные теоремы динамики
точки переменной массы.
(8.2.04)
(8.2.05)
и2 - V2 + v.
§ 2.041 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 709
§ 2.03. Уравнения движения тела переменной массы в обобщенных координатах
(уравнения Лагранжа второго рода)
Пусть положение тела переменной массы в пространстве определяется s
обобщенными координатами qu <72. ¦ ¦ ¦, <7s. Тогда уравнения Лагранжа
второго рода
(8-2-0б)
полностью описывают движение тела переменной массы. Следует лишь написать
функции Т, Qk, Рк в явном виде.
Если тело переменной массы может быть представлено как сумма N точек
переменной массы, то кинетическая энергия тела Т равна
N
Г = у2>,('К. (8.2.07)
<=¦1
Обобщенная сила Qk (скаляр) равна
ы
Q.-EOr. (8.2.08)
(-1 *
где F'f*-равнодействующая внешних сил, приложенных к точке Ши г, -
радиус-вектор точки rrii.
Функция Рк (скаляр) выражается равенством
Zdm. ( dv, \
^("" ^). (8.2.09)
где tii - абсолютная скорость отделяющихся от точки т,- частиц.
§ 2.04. Канонические уравнения движения тела переменной массы
Если ввести обобщенные импульсы
Рк==~Щ (* = 1> 2.s),
то уравнения Лагранжа (8.2.06) принимают "полуканониче-
скую" форму
dqb дН dp. дН
* тг--3^+p*+g* 2.s>> <8-2Л°)
где
S
Н{р\, Рг....Ps, Qh Яг.....?i) = ? Як-Т- (8.2.11)
710 Ч. VIII. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКИ [§ 2.04
Если внешние силы допускают силовую функцию U и абсолютные скорости
отбрасываемых частиц ы,-= 0 (i = 1, 2, ...
..., N), а следовательно, и Pk = 0 (?=1,2...........s), то в этом
случае уравнения движения (8.2.10) принимают каноническую форму
Гамильтона
dqb дН dpb дН
(*=1, 2.......s), (8.2.12)
dt др. ' dt dq.
где
4=1
Функция Лагранжа L равна Т + U.
Основные теоремы динамики тела переменной массы можно найти, например, в
[47]. Различные вопросы теории движения тел переменной массы рассмотрены
многими авторами [12], [13], [30], [48]-[51].
Г лава 3
НЕКОТОРЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
ДИНАМИКИ ПОЛЕТА
В ОКОЛОЗЕМНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Глава 3 содержит различные формы уравнений ракетодина-мики. Кратко
излагается постановка и решение оптимальных задач динамики полета в
околоземном пространстве.
§ 3.01. Уравнения движения ракеты.
Формула Циолковского
Ракетой назовем аппарат, снабженный реактивными двигателями, движение
которого происходит под действием внешней силы F и реактивной тяги Т,
обусловленной сгоранием топлива (рабочего тела) в двигателях. Ракета -
это частный случай тела переменной массы, поэтому ее движение описывается
уравнениями Мещерского (8.2.01) и (8.2.05), в которых следует положить М\
= М (М - масса ракеты), Vi = -с (с - скорость истечения частиц
относительно ракеты на срезе сопел реактивных двигателей).
Сила тяги Т равна
а уравнение движения ракеты принимает вид
М ^- = F - c~. (8.3.01)
Уравнение (8.3.01) справедливо при условии, что |с|= const.
Отрезок траектории, на котором Т Ф 0, называется активным участком, а
отрезок траектории, на котором Г = 0, называется пассивным участком.
Если рассматривать движение ракеты в неподвижной системе координат Oxyz,
то уравнения для координат ракеты х, у, г
712 ч. VIII. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКИ [§ 3.01
выражаются равенствами
м-А-г-с. dM
dt2 у dt
d.-z dM
dt2 Сг dt
(8.3.02)
где F = (X,Y,Z), с = (cx, cy, cz).
Если внешние силы отсутствуют (F = 0) и движение ракеты вызывается лишь
силой тяги, то уравнение (8.3.01) принимает вид
(8-3-03)
Уравнение (8.3.03) интегрируется в любом промежутке времени (to, t):
v-v0 = c\n^-, ]
v(to) = v0, v{f) = v, j (8.3.04)
M(t0) = M0, = )
Уравнение (8.3.04) носит название формулы К. Э. Циолковского [47].
Определение. Величина
У = с1п-^ (8.3.05)
(Мр - масса ракеты без топлива) называется характеристической скоростью
ракеты или характеристической скоростью маневра [20]. Она определяет
величину изменения скорости ракеты за счет расхода топлива, поэтому
многие оптимальные задачи динамики космического полета связаны с
минимизацией величины (8.3.05).
Если вектор с коллинеарен с вектором скорости v и противоположен по
направлению, то движение ракеты будет прямолинейным.
Обозначим через Мт массу топлива. Тогда очевидно, что М0 == Мт +
и из формулы Циолковского (8.3.05) можно получить скорость ракеты в конце
активного участка траектории
vp^v0 - cln(l (8.3.06)
§ 3.01] ГЛ. 3. НЕКОТОРЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ПОЛЕТА 713
Если начальная скорость ракеты v0 = 0, то для абсолютной величины
скорости 0Р в конце активного участка траектории имеем
Op = cln(l + -^). (8.3.07)
Определение. Отношение Мт/Мр называется числом Циолковского.
Уравнение
М =F (8.3.08)
описывает движение ракеты на пассивных участках траектории, а уравнение
MP~ = F (8.3.09)
описывает движение ракеты на последнем пассивном участке траектории.
Пусть масса ракеты является заданной функцией времени M(t)= MQf(t), где
f(t)-некоторая неотрицательная монотонно убывающая функция
времени, не превосходящая единицу.
Можно показать [47], что изменение массы ракеты по линейному
