Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
гД'>(0), определяемом из соотношения (алгебраических уравнений)
Ло11>(0) = а (7.3.50)
(при этом возможен случай а = 0), a W(t)- матрица решений однородной
системы
x = P(t)(x), (7.3.51)
причем матрица начальных условий U^(0) определяется из соотношения
AW (0) = 0. (7.3.52)
Предполагается, что det[5UP(/)] ф 0. Тогда
сп> = [BW (/)]"' [6 - Bv<¦' (/)]. (7.3.53)
Если считать для простоты, что || а || и || Ь |] имеют порядок параметра
[х, то || i>(1'(/) |[~ц, II *(п (0 ||~ц.
Второе приближение л^2)(0 удовлетворяет системе уравнений
= Р (0 *(2) + F (*<", t, ji) (7.3.54)
$ 3.121 ГЛ. 3. ЧИСЛЁННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 683
и тем же краевым условиям (7.3.47). Опять имеем линейную краевую задачу,
причем система (7.3.54) отличается от системы (7.3.48) для первого
приближения только лишь неоднородной частью.
Ищем лс(2>(0 в том же виде (7.3.49)
*<2> = ИГ(0с(2) + 1>(2)(0, (7.3.55)
где v№(t)-частное решение системы (7.3.54) при тех же начальных условиях,
при каких мы находили fl(1)(f), a W(t)-та же матрица, что и в (7.3.49).
Вектор с<2> определяем по формуле
e<*> = [BW (/)]"' [6 - BvW (/)]. (7.3.56)
При этом (если ||а||~ц, ||6||~ц)
[| г"(2) - г>(1) П - р.2, |[ с(r) - || ~ц2, ||лс(2) - лс(1)||~ц2.
Построение дальнейших приближений выполняется аналогичным образом. Их
сходимость гарантируется, во всяком случае, при достаточно малых ц.
При непосредственных вычислениях численные значения ц, а также компонент
векторов а и Ъ краевых условий фиксируются. Выписанные выше оценки для ||
*<4 ||, || *<2> - || дают
представление о порядке этих величин, если считать, что || а II, || Ъ ||
имеют один и тот же порядок.
Замечание. Если систему уравнений для последовательных приближений x<V(t)
(k = 1, 2, ...) выбрать в следующем виде (вместо (7.3.48) и (7.3.54)):
i<" = + -дР *' ) *(" +
+ (*(*<*-" t, vl) - *(ft~1)). (7.3.57)
то порядок малости || - *W|I по ц составит не а ц2\
Тогда мы получим при малых ц последовательность {*W(0b обладающую
квадратичной сходимостью, характерной для методов типа Ньютона.
§ 3.12. Краевая задача для системы, близкой к нелинейной невозмущенной
системе
Пусть дана нелинейная система вида
z = Z0(3, t) + \iZ(z, t) (7.3.58)
и краевые условия типа (7.3.47), и пусть при ц = 0 такая краевая задача
имеет точное или хотя бы приближенное решение г0(t). Полагая г - г0 + х,
приходим в отношении переменной х
684
Ч. VII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
IS 3.13
к системе вида (7.3.46) и к краевым условиям (7.3.47) при равных нулю или
малых по норме а, Ь. Другими словами, мы придем к краевой задаче,
рассмотренной в § 3.11.
В небесной механике при ц = 0 мы имеем краевую задачу для невозмущенного
движения. Приближенное или даже точное ее решение можно получить с
помощью формул кеплеровского движения. При ц ф 0 имеем краевую задачу для
возмущенного движения.
§ 3.13. Применение метода градиентного спуска
для решения нелинейной краевой задачи общего вида
Пусть дана нелинейная система
x = F(x,t) (7.3.59)
и краевые двухточечные условия
Ф (х (0), *(/)) = а (7.3.60)
общего вида, где F и Ф - некоторые нелинейные вектор-функции.
Предполагается, что условия существования решения такой краевой задачи
выполнены. Существование решения может вытекать и из самого физического
(механического) смысла задачи.
Одним из эффективных методов решения задачи является метод градиентного
спуска (см., например, [20]). Ставится задача отыскания начального
вектора дс(0) = х0, минимизирующего величину
р(х0) = \\Ф(х0, x(l))-af, (7.3.61)
которая рассматривается как функция ха, и при этом х0 отыскивается с
помощью последовательных приближений х(0к) (k = = 0, 1, .. ., 2),
приближающихся к *о по направлению градиента функции р(хо). В (7.3.61)
x(l) = x(t) |t=; и x(t)- решение исходной системы (7.3.59) при начальном
условии x\t=o = *о, так что р зависит от Хо как явно, так и неявно
посредством х(1).
Нулевое приближение может быть выбрано, вообще говоря, произвольно, но,
разумеется, целесообразно, чтобы х°л было более или менее близким к
точному искомому вектору ха.
Переход от любого х{ак> к *^+1' осуществляется по формуле
*{*+!> = *№) - а^и (ХМ, А), (7.3.62)
где и(х^0к), А) - вектор с компонентами
"у №h)=[р Wft) + e,h) ~ р (4ft>)]/A (?-3-63)
0=1, 2, ..., п),
§ 3.13] ГЛ. 3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 685
причем А- малая положительная постоянная, выбираемая произвольно, е$-
единичный вектор по оси j-й компоненты вектора * и а(й)-некоторая
постоянная, выбираемая специальным образом.
Смысл вектора А) заключается в том, что если р(х0)
рассматривается как функция х0, то и(лс^\ А) есть дискретный эквивалент
градиента функции р(х0) в точке х0= х^К Отсюда название метод
градиентного спуска.
Для определения вектора и{х^\ А) при заданных *<*> и А требуется
выполнить следующее.
1. Построить п + 1 решений (где п - размерность вектора х) исходной
системы (7.3.59), соответствующих п + 1 вариантам начальных условий:
*l<=0-*оk) + e:h (для 1-го решения),
