Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
вычислений больше, чем при использовании разностных методов решения
обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако метод Рунге - Кутта дает,
вообще, большую точность, чем разностные методы. Из последних мы
рассмотрим методы Адамса, Штермера, Коуэлла, так как они наиболее часто
применяются в небесной механике.
§ 3.02. Метод Адамса
Метод Адамса является наиболее простым из разностных методов. Для того
чтобы можно было начать вычисления, требуется, как и в случае применения
любых разностных методов, знать значения неизвестных в нескольких
равноотстоящих точках to, t\, tz, ... (а не только в начальной точке to).
Пусть дано, например, одно уравнение (7.3.03). Пусть известны значения
Jc(fo)=*o, *(М=*к (k = 1, 2, 3, 4), причем th = -f- kh. (Эти значения
целесообразно вычислить по методу
Рунге - Кутта.) Составляется таблица разностей для функции /(х, t)=hF(x,
t) по известным значениям Xh, f(Xh, th)=fh (k = 0, 1, 2, 3, 4) (табл.
82). Значение *(/5)= *5 находится с помощью разложения решения x(t) в ряд
Тейлора в окрестности точки ti. Требующиеся для этого производные функции
f(x, t) различных порядков в точке (JC4, ti) выражаются с помощью формулы
Ньютона для экстраполяции вперед. Это приводит к следующим выражениям:
х3 = х4 + Ах4, Д*4 = /4 + у flu + -^ /з + Т f*. + Ш & (7-3'09)
Далее вычисляют f(x5,t5) = f5 и разности fl/t, f\, f}/t, /3, а затем по
таким же формулам ха и т. д. Общая формула для вычисления Ахъ = jcft+i -
хк, k ^ 4 по известным /*, fh-u ., jh-4
§ 3.05] ГЛ. 3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 671
Таблица 82
t X 1 r {2 r f*
*0 *о fo
*1 *1 h 4 ft
*2 х2 h fh. I1 fl f3 '71 fl ti
*3 Х3 fz 'G/l
и *4 h fh.
и соответствующим разностям (табл. 83) записывается в виде
^Xk = fk + J ^-i/" ¦*" 12 720 ^-2- (7.3.10)
Более сложная формула, куда входят разности пятого и более высоких
порядков, обычно не используется. Если требуется
Таблица 83
t X f V V f3
lk-3 xk-3 fk- 3
lk-2 xk~2 fk-2 ¦ f3' h-v, fk-2
*k-l xk- 1 4-1 • /*-i
tk Xk fk /ft-Vs
небольшая точность или если шаг интегрирования h достаточно мал, то можно
ограничиться в этой формуле разностями третьего или даже второго порядка.
<572
Ч. VII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
[§ 3.03
§ 3.03. Метод Коуэлла
Пусть известны значения хк, хк-\, ..., дсА_4, 4^4 и составлена таблица
разностей (табл. 84).
Таблица 84
Хк-2 Хк-1 fk-2 fk- 1 fk-'k fl-1 fl-'h fk- 2 = " W-.-)
(fl-'/,)
Хк fk W) 0D Й) W-)
(**+i) (/*+.) (flk+J (fk+4,)
При нахождении Хь+\ по методу Коуэлла применяется, как в методе Адамса,
разложение решения x(t) в ряд Тейлора в окрестности точки tk, но
выражения для производных функции f(x, t) в точке (хк, tk) составляются
на основании интерполяционной формулы Стирлинга. Это приводит к следующим
выражениям:
хк+\ = хк + Ахк, (7.3.11)
- h+т fl+т И -wfi-тк ft- (?-ЗЛ2>
где flk, fk - центральные разности первого и третьего порядков
соответственно, равные
{fk+'i, + /*->/,)> = + (7-3.13)
Эти разности, а также разности f\, f\ неизвестны (их нельзя
вычислить с помощью лишь значений fk-4............/а). Поэтому
вычисление Ахк по формуле (7.3.12) проводится с помощью экстраполяции
разностей четвертого порядка и последовательных приближений.
Пусть f\_2 - а. Тогда в первом приближении полагают, что четвертые
разности fj_p fk также равны а. С этими значениями четвертых разностей
вычисляют (в первом приближении) разности f[k, f\, f3k, отмеченные в
табл. 84 скобками, а затем И Хь+1.
§ 3.04] ГЛ. 3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 673
С этим значением xft+i вычисляют fk+1 и уточняют разности f'k+v fl' fl>
fl-ч,' ft-1 (в табл- 84 они подчеркнуты). Имея уточненное значение f*_l=a
и полагая f^ = сх, вычисляем разность f\, а затем kxh и *ь+1 во втором
приближении и т. д. После аналогичных дальнейших вычислений хк+2, xh+3
приходится обычно ОПЯТЬ уточнять Xh+ь поскольку уточняются разности
fl fl и др-
Формула (7.3.12) метода Коуэлла выгодно отличается от формулы метода
Адамса тем, что коэффициенты при разностях убывают гораздо быстрее.
Поэтому, несмотря на большую громоздкость вычислений, этот метод часто
оказывается более удобным, чем метод Адамса. Вычисления для систем
уравнений производятся по аналогичным формулам и таблицам разностей,
выписываемым параллельно для правых частей каждого уравнения.
§ 3.04. Метод Штермера (для уравнений второго порядка)
Этот метод аналогичен методу Адамса и является одним из самых простых.
Пусть дано уравнение
~ = F(x,t) (7.3.14)
и известны значения x(ih)= хк (к = 0, 1, 2, 3, 4) в пяти точках th = t0 -
f- kh. Обозначив
h2F (x, t) = f(x, t), f(xk, tk) = fk, (7.3.15)
составим таблицу разностей. Формулы для вычисления Xs следующие:
х5 = 2*4 - х3 -f Д2х4, (7.3.16)
ДЧ = /4 + тН2 + тт^ + ж^ <7-3-17)
Аналогичным образом вычисляют далее Хе, х7 и т. д. Общие формулы для
любого xft+i, k ^ 4 записываются в виде
xk+l = 2xk - xk-i + А2хк, (7.3.18)
= +-iif +llrfl-*' P-3-19)
Разностями выше четвертого порядка обычно пренебрегают. Вычисления для
