Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
приближений на определенном интервале изменения / (см. [14]):
cos t" 1 - 0,49670* + 0,03705/2, 0</<у, 5 = 0,0069,
1 + 0,31755/+ 0.20330/2, 0 </<-?, 6 = 0,001,
е-'" 1 - 0,9664/+ 0.3536/2, 0</<ln2, ft = 0,003.
§ 1.10. Аппроксимация периодических функций с известным периодом
тригонометрическими полиномами по методу наименьших квадратов
1. Пусть даны значения функции f(t) в равноотстоящих узлах
U........./дг+1, причем f(tn+i)=f(ti) и число T = tN+1- tx
рассматривается как период функции f(t). Ставится задача аппроксимации
этой функции тригонометрическим полиномом вида
П
F(/) = Л0 + J^cos-^-Z + fiiSin-^-/) (2rt+ 1<N)- (7.1.40)
А=1
Коэффициенты Aq.........Вп ищутся из условия минимума сред-
него квадратичного отклонения
S= ?[/(*/)-/> (</)]*, (7-1.41)
/=" 1
и окончательные формулы для них следующие:
650 Ч. VII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ г*1.11
Соответствующая величина Smin минимума 5 выразится формулой
S"ln - g /' ft) - |, <М + Р,В|). Р-1 -43>
где lk = рк = W/2 при 2k ф Np и 1к - N, рк = 0 при 2k = Np (p - целое
число или нуль).
Коэффициенты А0, Ак, Вк аппроксимирующего тригонометрического полинома
связаны с точными значениями коэффициентов Фурье Ак, Вк функции f{t),
если она разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье, следующими
формулами:
А) = А) + An + A2n + • • ¦,
Ak - Ak -f AN~k -f- AN+k + A2N-k + A2N+k + ..., Bk = Bk - BN-k + BN+k -
B2N~k + B2N+k - ... (* = 1, 2...........................n).
(7.1.44)
Отсюда видно, что если коэффициенты Фурье убывают по мере возрастания
номера довольно быстро, то при небольших k
А0" А0, Ак " Ак, Вк " Вк.
2. Пусть узлы fi, ..., tN расположены произвольно, но период
исследуемой функции f(t) известен и равен Т. Тогда аппроксимирующий
полином Фурье (7.1.40) и условие минимума величины 5, как условие для
нахождения коэффициентов Ай, Ак, Вк, остаются без изменений. Пусть при
этом N значительно больше, чем 2n-j-l. Тогда коэффициенты А0, Ак, Вк
определяются из системы так называемых условных уравнений
П
А>+ ? (Лй cos+ В* sin==/(*,) (7-1.45)
k= 1
0'=1. 2.....N),
решаемых по методу наименьших квадратов (см. гл. 4).
§ 1.11. Аппроксимация условно-периодических функций с известными
частотами полиномом Фурье по методу наименьших квадратов
Пусть значения функции f(t) заданы в произвольных узлах
#i....tN и известно, что f{t) - условно-периодическая функция
q несколькими, например, тремя, определенными частотами
§1.12] ГЛ. 1. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ 651
ом. сиг. соз. Аппроксимирующий полином Фурье ищется в виде
П
F (0 - X [At/m cos (^ml + /ш2 Ч" таз) t
1 fe 1+1 / l+l m 1=0
+ Bkjm sin (?co, -f /co2 + mm3) <]. (7.1.46)
Количество узлов должно значительно превышать общее количество искомых
коэффициентов Akjm, В^т- Эти коэффициенты ищутся тогда из условных
уравнений
Z [Akim cos (feffli -f }щ -f mm,) ts -f
+ Bklm sin -f /to2 -f mcog) <s] = f (ts) (7.1.47)
(s=l, 2......Л0
по методу наименьших квадратов.
§ 1.12. Определение неизвестных частот периодической или условно-
периодической функции по совокупности табличных данных
В астрономии часто встречается следующая задача.
Пусть на основании наблюдений или вычислений получены значения функции
f(t) для большого количества равноотстоящих значений tu ..., /2JV+i
аргумента t с шагом А, и изменение этой функции носит колебательный
характер. Требуется аппроксимировать ее тригонометрическим полиномом вида
(7.1.46), в котором неизвестны не только коэффициенты, но и частоты
и, кроме того, неизвестно само количество частот.
Прежде всего ставится задача об определении частот. Излагаемая ниже
методика описана в [10].
Перейдем к новому аргументу 0 по формуле 0 =
= (t - ti)/h - N, чтобы точкам t\.........tur+i соответствовали
точки
6 = - N,-N+1............0,1.......N -I, N.
Обозначим искомые частоты по аргументу 0 через а\, аг, ..., причем
предположим, что все щ < п. Так как частоты по аргументу t равны со, =
ctj/A, то из aj < я вытекает 2h < 2jx/(0j. Таким образом, условие а3- < л
соответствует требованию, чтобы шаг h таблицы значений функции f(t) не
превышал половины периода Т, = 2л/ш:-, соответствующего любой из частот
toj.
Табличные значения функции f(i), отвечающие значениям аргумента 0 = 0,
±1, ..., ±N, обозначим через fh и /_к (k = 0, 1.....N). Вычислим величины
uk~/а + /-а" Vk - fk - f-k (6 = 0, 1, N),
652
Ч. VII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
[§ 1.12
где /(0) = f(t(Q)). Рассмотрим далее функции
ЛГ-1
(р) = у "О + ? U, COS Jj-jp + у UN COS яр,
1=1
N
(7.1.49)
(r)2(p) = J]^sin^/p
аргумента p на отрезке 0 ^ р ^ N. Эти функции представляют собой
приближенные выражения косинус- и синус-преобразования Фурье функций и
(в) и и(0) соответственно. Определяются точки р 1, р2, соответствующие
максимумам функций Ф\(р) и Фг(р) (эти точки максимума должны для обеих
функций совпадать). Искомые частоты а,, а2, . .. равны
где п - число найденных максимумов.
Практически удобно составить последовательности ah = = <Di(&) и Ьк -
Ф2(к) (k = 0, 1, ..., N) значений функций ФПр). Фг(р) при целых р и
