Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
е. разностей между точным значением I и правой частью (7.2.23) при
указанных п, следующие:
Ifl.K-S-Af* ]
ч (7 2 28)
где Ма - верхняя граница абсолютной величины производной /<¦>(/).
Формулы Ньютона - Котеса при п = 3, 5 менее выгодны с точки зрения
величины оценки их остаточных членов. При больших п эти формулы неудобны
из-за того, что коэффициенты велики и имеют чередующиеся знаки.
2. Широко применяются обобщенные формулы трапеций и Симпсона,
получающиеся, если интервал {а, Ь) разбить на п частей равноотстоящими
узлами t\........tn с шагом Лик каждому
малому интервалу (th, fft+]) применить формулу (7.2.24) или к каждой паре
интервалов {th, 4+i), (tk+1, ^+2) (тогда n четное) применить формулу
Симпсона (7.2.25). Тогда
+ ... + /.-, +у/") (7.2.29)
или
[(/о ~Ь /п) + 4 (/, -f /3 -f ... -f /"_]) + 2 (/2 -f -f ... + /п-г)]-
(7.2.30)
Оценки остаточных членов этих формул
\R\<^-h2M2, | R\^^±h*Mt (7.2.31)
соответственно.
660 ч VII. ЧИСЛЁННЫЕ МЕТОДЫ [9 2.04
§ 2.04. Квадратурные формулы Гаусса
1. Пусть имеется интеграл (7.2.22) и п узлов th {k = 1, ... п), в
которых вычисляются значения fh(th), могут быть выбраны произвольно.
Ставится задача подобрать эти п узлов так, чтобы приближенная формула
Ь п
(7.2.32)
а 6=1
становилась точной при соответствующих коэффициентах (не зависящих от
f(t)), если /(*)-полином как можно более высокой степени N. Тогда
(7.2.32) называется формулой Гаусса или квадратурной формулой, имеющей
наивысшую алгебраическую степень точности. При этом показывается, что N =
2п - 1. (Алгебраическая степень точности формул Ньютона - Котеса при п +
1 узлах равна п + 1 или п.)
Формула Гаусса непосредственно выписывается для интеграла с
нормированным интервалом интегрирования (-1, 1):
I П
$f(*)d*" ?AJ(**), (7.2.33)
-I k=i
где *i, ..., *"- нули полинома Лежандра Pn{t). Коэффициенты Ah все
положительные и определяются в зависимости от .......*" по формуле
А>= 0-<5) [к <|")Г (7'2'34)
Полином Лежандра Pn(t) выражается формулой
= (7.2.35)
Его нули равны при п - 3:
- *i = *3 = 0,774597, *2 = 0,
. __ . __ 5 , ____ 8
Л\ /1д "д- , -д- f
при п - 4:
- tl==t4== 0,861136, - *2 = *3 = 0,339981,
= А4 = 0,347855, А2 = А3= 0,652145,
при я = 8:
- - 0,960290, А{ = Л8 = 0,101229,
-t2 = t7 = 0,796666, Л2 = Л7 = 0,222381,
- *3 = *6 = 0,525532, А, = Л6 = 0,313707,
-*4 = *5 = 0,183435, А, = 4 = 0,362684.
§ 2.041 ГЛ. 2. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 661
Подробные таблицы с коэффициентами Ah и узлами tk формул Гаусса при п ^
48 имеются в [16].
Для интеграла на произвольном интервале интегрирования (а, Ь) формула
Гаусса имеет вид
Г "
(7.2.36)
а fc=l
где uk= Ь а + Ь 2° t и Ak, tk - те же, что и в (7.2.33)
Формулы Гаусса являются часто наиболее эффективными, т. е. позволяют
вычислять интеграл на произвольном интервале интегрирования с заданной
точностью при минимальном числе узлов (более подробно об оптимальном
выборе квадратурной формулы см. в [9]).
Оценка остаточного члена Rn формулы Гаусса (7.2.36) имеет вид
id к (6 - д)2п+1 (я1)4 /у 2 37}
[(2л)!]3 (2л + 1)
где М^п - верхняя граница абсолютной величины производной
Р")(*).
2. Формула Гаусса обобщается на интегралы вида
ь
I=\p(t)f(t)dt, (7.2.38)
где p(t)-весовая функция (положительная и интегрируемая). Интегралы с
весовой функцией
p(t) = (t-a?(b-tf,
где а, р - произвольные вещественные числа, называются интегралами Якоби.
Общий вид квадратурной формулы типа Гаусса (т. е. имеющей алгебраическую
степень точности 2п - 1 при п узлах) для интегралов Якоби в случае
нормированного интервала интегрирования (-1, 1) следующий [16]:
1 п
J (1 - t)a (1 + 0Р / (0 Л да ? Akf itk), (7.2.39)
-i fc=i
662 Ч. VII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ [$ 2.04
где t\, ..., tn - нули полинома Якоби
-0-а(1 +0"Р-?-[(1-0а+п(1+0Р+п] (7.2.40)
и коэффициенты Ah выражаются формулой
л __рд+p+i Г (а + п + 1) Г (Р + п + 1)_
" ...
4 л! Г (а + Р + я + I) (I - t\)
[rfPjf¦ "{tk)!dtf '
Г - гамма-функция Эйлера.
Имеются квадратурные формулы для ряда частных случаез (7.2.39) при
различных а, р.
При а = р = -А имеем формулу
I п
Л"?ДМа), Л,= ... =Ап = %, (7.2.42)
-1 ' А="1
называемую формулой Эрмита. Узлы t\..........tn в этой формуле
являются нулями полинома Чебышева T"(t) (см. § 1.07). Оценка остаточного
члена следующая:
(7-2-43)
Приведем значения при п == 3, 4, 5:
" = 3, - /, = /3 = 0,707107, t2 = 0,
п = 4, - /, = /4 = 0,794654, - *2 = *3 = 0,187592,
л = 5, - f, = tB = 0,832497, - /2 = /4 == 0,374541, /3 = 0.
Квадратурные формулы вида (7.2.42) с одинаковыми коэффициентами Ah носят
название формул Чебышева.
Интересен частный случай интегралов Якоби при р = 0. Тогда замена
переменной (1 - t)l2 - x приводит к интегралу вида
1
^ хаФ (*) dx. (7.2.44)
о
В [16] приводятся для такого интеграла значения узлов xh и коэффициентов
Ак квадратурной формулы вида (7.2.39) при раз-, личных п ^ 8 и а от -0,9
до 5,
§ 2.05] ГЛ. 2. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 663
п = 4
п = 8
я = 4, 8 и a = - 0,5 имеем
