Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
превосходят 300.
§ 1.04. Обратное интерполирование
Обратное интерполирование заключается в нахождении значения аргумента,
соответствующего заданному значению табличной функции.
Обозначим последнее через /", а искомое значение аргумента t - через f*.
Ближайшее табличное значение функции обозначим через fo, пронумеруем
соответствующим образом предшествующие и последующие значения функции и
составим таблицу разностей. Положим t" = t0 + nh, где п - неизвестное,
так что = /(*о + nt).
Вычисление п целесообразно выполнить следующим образом.
Перепишем, например, интерполяционную формулу Бесселя
(7.1.08) в виде
"(г, п л(я~ оГя--^-')
----------зг--/"- <7'U9>
Эта формула рассматривается далее как уравнение относительно неизвестного
п, и его решение ищется методом последо-
§ 1.05] ГЛ. 1. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ
643
вательных приближений. В первом приближении полагают
а последующие приближения (k == 2,3, ...)' ищутся по формуле
Аналогичным образом можно применить формулу Стирлинга
§ 1.05. Интерполирование функции двух переменных
Пусть имеются значения функции /(и, v) двух переменных в узлах (щ, Vj)
(t, / = 0, ±1, ±2, ...) таблицы с двумя входами по и и v и постоянными
шагами ui+\ - и,- = Л, uJ+1 - v, = L Полагая /(и,-, Vj)=fitj при любых i,
j, введем для разностей следующие обозначения:
Наиболее простой является следующая формула, представляющая собой
двумерный аналог формулы Ньютона (7.1.05) для интерполяции вперед:
/ ("о + qh, v + si) " /оо + <7А'°/оо + sA°7oo + ?(?2! 1} А20/00 +
(7.1.20)
+
л*-1) __1
)
f?,,+ ... . (7.1.21)
3!
и т. д.
А^/оо, (7.1.22)
644
Ч. VII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
15 1.06
где q > 0, v > 0. Имеется четыре варианта двумерной формулы Ньютона,
получающихся в зависимости от направления интерполирования (вперед или
назад) по каждой переменной и и и. Например, при интерполировании по и
назад, а по и вперед соответствующая формула получается из (7.1.22) после
замены всех множителей (q-1), (q - 2), ... в коэффициентах на (9+1). (? +
2)......причем тогда q < 0.
Правило составления коэффициентов простое: при разностях Aijfoo
выписывается произведение A{(q)Bj(s), где A^q) и Bj(s)-коэффициенты в
одномерных формулах Ньютона для интерполяции вперед или назад при
разностях порядка i, j по переменным и, v соответственно.
§ 1.06. Приближение функций с помощью сплайнов
В настоящее время во многих задачах численного анализа широко
используется аппроксимация функций не одним полиномом по независимой
переменной t, а системой полиномов, называемой сплайном (см., например,
[13]). Точное определение сплайна следующее.
Пусть функция f(t) имеет известные значения в узлах to, tu ..., tN,
принадлежащих отрезку t0 ^ t ^ tN и расположенных произвольно. Сплайном
порядка т для этой функции, обозначаемым через Sm(f, t), называется
функция, представимая на каждом отрезке [^о, h]. Ui, У...[fjv-ь Ы
полиномом
степени т, совпадающая с f(t) в узлах и имеющая в каждом внутреннем узле
t\....tN-\ непрерывные производные до по-
рядка т - 1. Можно записать:
Р\т (t) - Лт + ant + + a\mtm, to<t^tu
Ргт (t) = а2о + a21t + ... -\-a2mtm, t\^t^.t2,
I
J
PNm(t) =aN0 + ClN\t + ¦¦¦ + аЫт?
(7.1.23)
где fljj - постоянные коэффициенты, определяемые из условий
Sm(f, t,) = f(ti) (/ = 0,1.........N),
*кРш(*1) _ ^Р2M dkPN_Um{tM_,) dkPNm{tN_x)
dtk dtk ....... dtk dtk
(6=0, 1.......m- 1).
(7.1.21
Эти условия представляют собой систему из N (т + 1)+ 1 - т линейных
алгебраических уравнений относительно N(т 1) неизвестных коэффициентов
ац.
9 1.07]
ГЛ. 1. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
645
Если функция f(t) аппроксимируется сплайном из линейных функций (т - 1),
то условия (7.1.23) полностью определяют все коэффициенты ац. Если т ^ 2,
то для определения ац привлекают дополнительные условия. Например, при т
= 3 можно принять следующие два дополнительных условия:
РГз(*о) = 0, РЫЫ = 0.
§ 1.07. Среднеквадратичные приближения функций
Функция f(t) с известными значениями в узлах to, .tN аппроксимируется
функцией
/7(0 = ВДо(*)+ +а"Фя(0 (n<N), (7.1.25)
где а0....ап - постоянные коэффициенты и фо(0> ¦ ¦ ¦ ¦ фп(0 -
система функций, удовлетворяющих условиям
N
? Ф( (<*) Ф/ (<*) = 0 (1Ф1) (7.1.26)
(такие функции называются попарно ортогональными).
Чаще всего используют в качестве функций ф;(?) системы ортогональных
полиномов Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эр-мита и др. (см., например,
[3]). Коэффициенты а0, ..., ап определяются из условия минимума суммы
квадратов отклонений f(t) от F(t) в узлах
S=T,[F(tk)-f(tk)]K (7.1.27)
Величина S называется средним квадратичным отклонением F(i) от }(t).
Функция F(t), реализующая минимум S, называется наилучшим
среднеквадратичным приближением исходной функции f(t) данной системой
функций фо(0> фп(0-
Формулы для а0, ..., ап можно выписать в явном виде
а,= jtjOJvrfj/jttffr) (/ = 0,1..............п). (7.1.28)
Соответствующая величина Smin, равная минимальному значению среднего
квадратичного отклонения 5 для данной системы функций фо(0" - -•> фл(0 и
