Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
*! = 0,0336483, /1, = 0,725368,
*2 = 0,276184, A2 = 0,627413,
*з = 0,634677, A3 = 0,444762,
*4 = 0,922157, /14 = 0,202457,
*i = 0,00902738, Ai =0,378901,
x2 = 0,0793006, A2 = 0,365207,
*3 = 0,209779, A3 = 0,338313,
*4 = 0,381771, A4 = 0,299192,
*5 = 0,570636, A5 = 0,249258,
*6 = 0,749317, 4 = 0,190317,
*7 = 0,892222, A7 = 0,124507,
*8 = 0,978914, Л3 = 0,0543049.
§ 2.05. Численное интегрирование сильно осциллирующих функций
Пусть требуется вычислить интегралы ь ь
h - ^ f (t) cos at dt, I2 = ^ / (t) sin at dt, (7.2.45)
a a
где со достаточно велико, интервал (a, b) значительно больше л/ш и
подынтегральная функция имеет на интервале (а, Ь) много нулей, т. е.
сильно осциллирует. Квадратурные формулы, рассмотренные в предыдущих
параграфах, если не разбивать интервал (а,Ь) на очень большое число
частей, значительно теряют в данном случае свою точность. Метод
построения квадратурных формул для интегралов (7.2.45) состоит в том, что
функция f(t) аппроксимируется алгебраическим полиномом pn(t) некоторой
степени п, а получающиеся после этого функции pn(t)cos at, /?n(Osinci)<
интегрируются буквенно. Возможно также сначала разбить весь интервал (а,
Ь) на большое число частей и аппроксимировать f(t) в каждом малом
интервале своим полиномом. При разбиении (а, Ь) на п = 2N частей и
аппроксимации f(t) в каждой паре интервалов квадратным трехчленом
(некоторый аналог обобщенной формулы Симпсона) получены следующие формулы
(см. [9], [11]):
" h [a (fn sin atn - f0 sin ш*0) + PC, + уС2], (7.2.46)
/г" h [a (f0 cos at0 - fn cos atn) -f 0S, -f у52], (7.2.47)
664
Ч. VII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
(8 2.06
где
a = (p2 + psinpcosp - 2sm2p)/^ = ~pP - ^Р5+ ¦
p = (4sinp- 4pcosp)yp3==Y--^-^+2X0 р4+
V = 2(p + pcos2p -2sinpcosp)yp3 = -| + ^-p2 + ^5 Р4+ ....
С, = /, cos atf, + /3cosatf3 + ¦¦¦ + /п-i cos co/n_b
C2 = J fo COS COt0 -f f2 COS C0rf2 + ... + fn-2 COS C0/rt-2 + у fn COS
C0/",
(Sj и S2 - аналогичные суммы для /(/) sin corf и h ~ Ь~° , p = ah, tk =
a-\-kh, k = 0, ..., n, t0 = a, tn = b n - четное число).
§ 2.06. Правило Рунге практической оценки погрешности квадратурных формул
Теоретические оценки остаточных членов квадратурных формул, приводившиеся
выше, требуют составления и анализа производных подынтегральной функции.
Применение этих оценок при конкретных вычислениях оказывается возможным
лишь в редких случаях. Практически эффективным является следующий прием,
носящий название правила Рунге (см. [3], [9]).
Пусть интеграл (7.2.22) вычислен два раза по одной и той же квадратурной
формуле с использованием сначала п, а затем т > п узлов, так что
/ = + /?" = S2 + Rm,
где Si, S2 - соответственно вычисленные приближенные значения интеграла
/, а Rn и Rm - соответствующие остаточные члены. Как следует из
теоретических оценок, эти остаточные члены пропорциональны по своей
величине (1 /п)к и (1 /т)к соответственно, где k зависит от п и типа
квадратурной формулы. Тогда согласно правилу Рунге
\Rm\ = (7.2.48)
1 - (л/m)
Эта формула дает достаточно надежное значение ошибки, если во всяком
случае т значительно больше п (например, т Js 2п).
§ 2.071 ГЛ. 2. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 665
§ 2.07. Квадратурные формулы для несобственных интегралов
1. Пусть требуется вычислить интеграл
ъ
l=\f{t)dt, <7.2.49)
о
в котором подынтегральная функция f(t) терпит при t=b бесконечный разрыв.
Квадратурная формула строится с помощью выделения в f(t) множителя,
который обусловливает обращение f(t) в бесконечность при t = b или
указывает на порядок величины f(t) при t -> b - 0. Как правило, можно
положить
f(t) = Ф ШЬ ~t)k (0 < k < 1), (7.2.50)
где функция ф(^) конечна на всем отрезке [0, Ь]. Тогда интеграл (7.2.49)
записывается в виде
ъ
/ = ^ (й - /)~* ф (i) dt, (7.2.51)
о
и множитель (b - t)~k рассматривается как весовая функция типа Якоби.
Квадратурную формулу для этого интеграла можно строить исходя из (7.2.39)
или непосредственно, аппроксимируя Ф (t) соответствующим полиномом.
Формула Эрмита (7.2.42) является одним из примеров подобного рода.
Можно также выполнить предварительно подстановку t/b = = 1 - х, которая
приводит к вычислению интеграла
1
I = ь~к+х J х~\ [Ь (1 - *)] dx, (7.2.52)
о
г. е. интеграла вида (7.2.44) при -1 < а < 0, для которого имеются
таблицы коэффициентов и узлов квадратурной формулы.
2. Пусть требуется вычислить интеграл
ао
\ f(t)dt,
о
(7.2.53)
666 ч- VII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ !§ 4.07
в котором f(t) убывает при t-> оо как некоторая степень t~h (k~> 1) и
может быть представлена в виде
ПО = Ф(0/(1+0*. к>1, (7.2.54)
где функция ф(/) ограничена на всей полуоси О <С / <Г оо.
После подстановки I + i = l/х приходим к интегралу
I
I = J хк~2<р (-Ц^) dx. (7.2.55)
о
Таким образом, мы приходим к вычислению интеграла вида (7.2.44) при а > -
1.
Более подробно о квадратурных формулах для несобственных интегралов см. в
[16].
Глава 3
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Методы численного интегрирования дифференциальных уравнений движения
