Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
систем уравнений вида (7.3.01) проводят но аналогичным формулам
параллельно для каждого уравнения.
22 Под ред. Г. Н. Дубошина
674 ч. VII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ [§ 3.05
§ 3.05. Метод Коуэлла (1-й вариант)
Пусть дано уравнение (7.3.14) и известны значения х (to) -^От ¦ • ¦ 1 х
(tk) х^, h ^ 6.
Обозначим снова h2F(x, t) = f(x, t), f (xh ti) = fl (i = 0, 1, 2, ...)
(7.3.20)
и составим таблицу разностей. Значение xk+l выражается через Xh-i, xh,
h2xk опять согласно (7.3.18), a &2xh определяется по формуле
^Хк = fk ~12 ~ 240 ft 60 480 fk' (7.3.21)
где fl, fl, /| - центральные разности. Поскольку эти разности нельзя
вычислить с помощью лишь значений f{ (i ^ k), то Д2Хь вычисляют с помощью
последовательных приближений так же, как и в случае уравнения первого
порядка (см. § 3.03).
Пусть f\_3=а. Тогда в первом приближении полагаем, что разности fl_2> fl-
]' f\ Равны также а. С этими значениями
Таблица 85
t X f r p V f' r
^-3 хк-3 fl-y, ft-3 = a
*k-2 xk-2 • • fl-Vt f4 fk-2 (fk-2~a)
*k-\ xk-l • fU ou (/*-!=")
fk tk + 1 xk l) fk (/*+.) 7* (fUJ (ft) (fU) (/* = <*)
в 3.06] гл. 3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 675
шестых разностей вычисляем (в первом приближении) разности f%, f\ (эти
разности, а также все другие, необходимые для вычисления f\, f\, отмечены
в табл. 85 скобками), а затем Д2^ь,
Исходя из этого значения jcft+1, вычисляем /ь+1 и уточняем разности f2,
fl_v f\_V7, fl_2 (в табл. 85 они подчеркнуты).
Имея уточненное значение /|_2 -° и полагая /|_2 = /(r)=а, вычисляем Д2** и
xh+l во втором приближении и т. д. При дальнейших вычислениях xh+2, хА+3
приходится возвращаться к уточнению Xk, поскольку уточняются разности
/|_J, f\.
§ 3.06. Метод Коуэлла (2-й вариант)
Пусть дано уравнение (7.3.14) и известны значения х0...*в.
Используя обозначения предыдущего параграфа, составим таблицу разностей,
причем в этой таблице добавим столбцы первых и вторых сумм, обозначаемых
через f~l, f~2 с соответствующими нижними индексами (табл. 86).
Таблица 86
f X f-2 f-1 f t' f2 f3 f4 f5 f6
•о *0 fo fl
h *1 fl 'Чг fx
к f3
*2 *2 f2 fl f3 f4 >2 f8
*3 *3 f? h '¦/. fl '¦/, f4 '3 '¦/, fB 13
f'l,1 fy, f3 h, f5
и *4 К2 и fl f4 '4
fk f3
h *5 fs2 fb fl
fk
*6 *6 /б"2 h
f"/l
f72
Суммы fj2, начиная с f~\ f~2, составляются таким образом, что столбец
значений fj является столбцом первых разностей для ffl и вторых разностей
для fj2. По одному из
22*
676
Ч. VII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
[§ Э.ОЯ
значений ffl, ff2 можно взять произвольно. Полагают
h ~х3 12^3 + 240 ^3 60 480 ^3 + 3 628 800 ^3> (7.3.22)
/'/, - х4 ~~ Х3 \2 f'h "240 - 60 480 №/,' (7.3.23)
Значение х7 выражается через разности формулой
х = f~2 4- - f------J- f2 -I_- f4--------------------------289- " ,y n
94\
7 '7 ~ 12 '7 240 '7 ' 60 480 '7 3 628 800 1 т v
В этой формуле является известной (т. е. вычисляемой по известным
значениям /0, fe) только вторая сумма f~2. Остальные члены неизвестны,
поэтому вычисления производятся, как и в первом варианте метода Коуэлла,
с помощью экстраполяции шестых разностей и последовательных приближений.
Значения *8, *э, ¦ ¦. вычисляются последовательно по формуле, аналогичной
(7.3.24).
При интегрировании уравнений движения большинства малых планет и комет с
шагом h = 10d при точности до семи значащих цифр оказывается часто
возможным ограничиться в формуле (7.3.24) четвертыми или даже вторыми
разностями.
§ 3.07. Накопление погрешностей при численном интегрировании
При численном интегрировании в результате округления на каждом шаге в
некоторой неточности формул происходит постепенное накопление погрешности
с увеличением числа шагов. Как показывает теоретический анализ (см. [1],
[2], [19]), ошибки в координатах (при интегрировании уравнений движения в
прямоугольных координатах) после п шагов численного интегрирования
пропорциональны ла/*. Таким образом, через каждые 30 шагов эта ошибка
вообще может увеличиться примерно в 10 раз, т. е. теряется одна значащая
цифра.
Косвенный контроль точности при численном интегрировании осуществляется
путем вычисления на каждом шаге констант интегралов решаемых
дифференциальных уравнений (если такие интегралы имеются). Расхождения в
значениях этих констант, появляющиеся на каком-то шаге, указывают на
соответствующую потерю точности значений искомых неизвестных.
§ 3.08. Метод Энке численного интегрирования уравнений возмущенного
движения
Метод Энке численного интегрирования уравнений возмущенного движения
небесных тел заключается в том, что эти уравнения записываются в
специальной форме; при этом урав-
§ 3.08] ГЛ. 3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 677
нения сохраняют простоту, характерную для уравнений в прямоугольных
координатах, но позволяют вычислять непосредственно именно возмущения.
Изменение координат за счет невозмущенного движения может учитываться
отдельно, например, по обычным кеплеровским формулам.
