Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
х |<=0 = х(0к) + (для л-го решения),
х |<=0= х^к) (для (п + 1)-го решения)
и обозначаемых через x^(t) (/= 1......я + 1) соответственно,
так что
*р> (0) = + е,А......(0) = *<*> + eh, х% (0) = *<*>.
2. Построить векторы х^ (I) для этих решений на правом конце отрезка
[0, /].
3. Найти векторы Ф (0), х{к) (/)) (/ = 1........я+1), соот-
ветствующие краевым условиям (7.3.60).
4. Найти значения функций
рК>(0))........p(^fc)(0)), р (*?>)¦
После всего этого компоненты вектора и (х(0к\ А) вычисляем согласно
(7.3.63). Если оказывается, что р (*[,*') = 0, то в следующем приближении
ле^+1) нет необходимости.
Постоянная a(ft) в (7.3.62) выбирается достаточно малой по абсолютной
величине и так, чтобы значение р(лс^+1)) оказалось наименьшим по
сравнению со всеми значениями р(х0) для х0, определяемого по формуле
*0 = *0 - аиh)> (7.3.64)
где х{0к) и и(х{к\ А) фиксированы. Для этого можно задать некоторую
последовательность малых по абсолютной величине
686
Ч. VII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
[$ 3.13
значений см, a2, ¦¦¦ и построить решения xa(t) [а - 1, 2, . . .) исходной
системы (7.3.59) при начальных условиях
*а (0) = х0к) - аа"(*о°> А) (а = 1, 2, ...),
далее найти векторы ха(1), значения р(дса(0)) и, наконец, Р(хок))~ Р (*а
(0))- Путем интерполяции или дальнейшего варьирования значений а можно
найти требуемое значение a(ft), при котором разность -p(*a (0))
наибольшая.
Можно также применить более сложный, но и более экономный метод
нахождения a(h) как стационарной точки функции p(xW- аи (х^, А)) с
помощью итерационного процесса типа Ньютона.
Нулевое приближение ао = 0 (для простоты записи индекс k во всех формулах
опускаем). Первое приближение ai находим следующим образом.
1. Строим два решения исходной системы (7.3.59)
(t) - при начальных условиях ж, (0) = х0 - OqU (х0, А),
x2(t) - при начальных условиях х2 (0) = х0 - (oq t) и (х0, А), где т -
произвольно выбранное малое число, и находим хх (I), х2(1).
2. Вычисляем согласно определению (7.3.61) величину
q = p(x2m-p{Xim- (7-3.65)
3. Строим два решения исходной системы (7.3.59)
х3 (t) - при начальных условиях х3 (0) = х0 - (oq -(-1 q |) и (х0, h),
х4 (t) - при начальных условиях х4 (0)=*0-("о+1 Я Н~т)и (*о> А) и находим
х3 (I), х4 (I).
4. Вычисляем величину
? = р(*4(0)) -р(*з(0)). (7.3.66)
Тогда
<*i = Oo-j^jlql- (7-3.67)
Таким же путем (ао заменяется во всех формулах на ai) можно
найти а2 и т. д. Можно не добиваться нахождения а(А) с
боль-
шой точностью, если значение р - а(к)и (*<*>, А)) еще существенно
отличается от нуля.
В результате описанного процесса найдем вектор Xq такой, что с заданной
точностью р(х0)= 0. Решение же задачи Кошн для исходной системы (7.3.59)
при начальных условиях х(0)~ = х0 представит непосредственно искомое
решение поставленной краевой задачи.
§ 3.14] ГЛ. 3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ 687
§ 3.14. Разностный метод решений краевых задач
Разностный метод состоит в принципе в том, что производные искомой
функции x(t) заменяются их приближенными выражениями через значения x(t)
в узлах. Тогда вместо дифференциальных уравнений и краевых условий для
функции x(t) получаем систему конечных уравнений (алгебраических,
трансцендентных) относительно неизвестных значений xk = x(tk) этой
функции в узлах.
Пусть дано, например, уравнение второго порядка
x + p(t)x + s(t)x = f(t) (7.3.68)
и краевые условия
ахх (0) + а2х (0) = a, bxx{l)-\-b2x{l) - b. (7.3.69)
Отрезок [0, /] разбиваем на N частей равноотстоящими узлами
с шагом h. = 1/N-.
tk = kh (k = 0.........N), tN = l.
Обозначим
х {tk) = хк, х (tk) хк, х {ik)== Xk
и выразим производные во внутренних узлах по разностным
формулам (см. (7.2.17))
-1 xt,, - 2xt + x. ,
2h . (7.3.70)
В крайних узлах tQ, tK имеем
ri ~ хо ¦
х0;
- h
Исходное уравнение (7.3.68) и краевые условия (7.3.69) заменяем
соотношениями
х. ., - 2х. + х. . х. .,- х. ,
----W----- + р* -12 h + SkXk = fk (7-3-71)
(* = 1, 2.....- 1),
а1х0 + аг^^-=а, b{xN + b2 *N =b, (7.3.72)
Pk = p(tk), Sk = s(tk), fk = f(tk),
представляющими собой систему N -f 1 линейных алгебраических уравнений
относительно N + 1 неизвестных х0, ..., х^. Решив эту систему уравнений,
получим таблицу значении
х0.....xN, являющуюся численным решением поставленной
краевой задачи (разумеется, приближенным).
688
Ч. VII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
И 3.14
В случае нелинейного уравнения вида (7.3.68) с правой частью f(t, х, х)
вместо f(t) система (7.3.71) заменится следующей:
xk + \ ~ 2xk + хк-] | xk + \~xk~\ I " __
-----------------' Pk----2 h-------' k k ~
= f(tk,xk, Xk+\hXk~~) (* = 1,2..........N- 1). (7.3.73)
Вместе с (7.3.72) получим систему нелинейных конечных уравнений
относительно х0, ..., xN. Их решение можно искать методом
последовательных приближений того или иного типа.
Системы соотношений вида (7.3.71) - (7.3.72) в случае краевых задач для
дифференциальных уравнений более высокого порядка или для систем
уравнений составляются аналогичным образом. Существует целый ряд
