Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
§ 3.10. Метод стрельбы при нахождении решения
линейной двухточечной краевой задачи
Основной вариант этого метода заключается в следующем (см. [9]).
Пусть дана система дифференциальных уравнений (в векторно-матричной
форме)
x = P{i)x + f{t) (7.3.31)
(точкой обозначено дифференцирование по переменной /), и двухточечные
краевые условия вида
Ах (0) = а, Вх (0 = Ь, (7.3.32)
где векторы х, f, а и Ь имеют соответственно размерности
п, п,
1 - г и г, P(t)-матрица с непрерывными по t элементами,
4 - постоянная матрица с п - г строками, а В - постоянная матрица с г
строками.
Решение данной краевой задачи ищем в виде
x{t) = w (t) + v(t), (7.3.33)
680
Ч. VII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
[5 3.10
где v(t)-частное решение исходной системы при начальном условии,
удовлетворяющем соотношению
Av (0) = а, (7.3.34)
a w(t)-нетривиальное решение однородной системы, получающейся из (7.3.31)
при f = 0,
x = P(t)x (7.3.35)
с начальным при t - 0 условием, удовлетворяющим соотношению
Aw (0) = 0. (7.3.36)
Это векторное соотношение эквивалентно п - г линейным алгебраическим
уравнениям относительно п неизвестных компонент Wi (0), ..., шп(0)
вектора а>(0). Эти уравнения всегда имеют решение, зависящее от г
произвольных постоянных. Таким образом, из (7.3.36) может быть найдена
матрица ЦР(0) с г столбцами. Если обозначить через W{i) матрицу из г
решений системы (7.3.35) при начальном условии W\t=o = tt^(0), то w(t) в
(7.3.33) запишется в виде
w(t) - W(t) с, (7.3.37)
где с - произвольный вектор с г компонентами с\, ..., ст.
При определенных таким путем v(t) и w(t) функция (7.3.33) удовлетворяет
первому из краевых условий (7.3.32) при всех с. Дальнейшая цель состоит в
таком выборе вектора с, чтобы решение (7.3.33) удовлетворило второму
краевому условию (в точке t = l). Можно сказать, что подбираются такие
начальные условия при t = 0, чтобы интегральная кривая исходной системы
(7.3.31), удовлетворяя этим начальным условиям, достигла бы при t = I
нужной точки. Отсюда название метод стрельбы.
Подчинив вектор с второму краевому условию, получим
B\V(l)c + Bv(l)=b. (7.3.38)
Если
det \BW (0] Ф 0 (7.3.39)
(это - условие разрешимости поставленной задачи), то
c = [BW{l)]~l[b-Bv (/)]. (7.3.40)
Функция
x{t) = W{t)c + v{i), (7.3.41)
где с определяется согласно (7.3.40), дает решение исходной краевой
задачи. Таким образом, построение этого решения сводится к следующему;
5 3.10] ГЛ. 3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 681
1) нахождению каких-либо численных начальных условий и(0) из системы
алгебраических уравнений (7.3.34), при этом не исключается случай а = 0;
2) нахождению матрицы №(0) из линейной алгебраической системы (7.3.36);
3) построению решения задачи Коши исходных уравнений (7.3.31) при
начальном условии дс(0)= и(0); 4) построению матрицы решений W{t) задачи
Коши для однородной системы (7.3.35) при начальных условиях W |f=0 = W
(0); 5) вычислению вектора с из (7.3.40).
Для построения решений задач Коши можно применить любой из рассмотренных
выше методов.
Для иллюстрации укажем, какой вид принимают приведенные выше формулы в
случае системы второго порядка
*1=/>К*1 + Р]2*2 + М0. *2 = />21*1+/>22*2+ Ы0 (7.3.42) и краевых условий
Начальные условия (7.3.34) для Ui(0), и2(0) примут вид
откуда всегда можно подобрать значения ui(0), v2(0) при а ф 0 и а = 0.
Начальные условия (7.3.36) для w(0) имеют вид
откуда (например, при а2 Ф 0) a>i(0)=c, до2(0) =- ca\ja2,
где с - произвольная постоянная. Таким образом, решение алгебраического
уравнения (7.3.45) зависит от одной произвольной постоянной и искомая
матрица Н?(0) имеет один столбец с элементами 1 и -а\/а2 соответственно.
Матричное решение W (t) однородной системы, получающейся из (7.3.42) при
0, /2= 0, ищется при начальном условии
и представляет собой матрицу из одного столбца с элементами w\{t) и
w2(t). Искомое решение краевой задачи запишется по аналогии с (7.3.41) в
виде
(0 = cw{ (0 + о, (0, *2 W = cw2 (0 + v2 {t),
причем постоянная с находится из условия вида (7.3.38) ft, [си', (0 + и,
(0] + b2 [cw2 (I) + Щ (/)] = Ь.
Задача разрешима, если b\WX (I) + b2w2(l) = D Ф 0, и тогда с = [ft -
ftjUi (/) - b2v2 (l)][D.
а,о, (0) + a2v2 (0) = a,
(7.3.44)
ct]Wi (0) + a2w2 (0) = 0,
(7.3.45)
682 ч. VII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ [§ 3.11
§ 3.11. Краевая задача для квазилинейной системы с линейными краевыми
условиями
Пусть дана система вида
x = P{t)x + F{x, t, |х), (7.3.46)
где [х - малый параметр,
||f (0, t, ц)||~|1, \\F{x, t, 0)|| ~||* ||2,
и даны краевые условия вида (7.3.32)
Ае(0) = в, Вх{1)=Ь, (7.3.47)
где векторы а, Ь или равны нулю или малы по норме. Для по-
строения решения такой краевой задачи можно применить метод
последовательных приближений.
Первое приближение *W(f) удовлетворяет системе уравнений
io) = p(f)*(n 4.^(0, t, ц) (7.3.48)
и тем же краевым условиям (7.3.47).
Имеем, таким образом, линейную краевую задачу. Находим ¦**'>(?) в виде
*0) = Г (0 с"'+ (0, (7.3.49)
где и<*)(?)-частное решение системы (7.3.48) при начальном векторе
