Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
вариантов разностных схем и методики решения получаемых систем конечных
уравнений (см. [3], [9]). Важными являются вопросы о погрешности
получаемых таким путем приближенных численных решений краевой задачи, а
также о сходимости процесса при последовательном уменьшении интервала
разбиения.
Можно также, получив разностным методом грубое решение, использовать его
в качестве нулевого приближения для метода, изложенного в § 3.13.
Глава 4
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ряде задач небесной механики и астродинамики, связанных с
использованием наблюдательных данных для уточнения элементов орбит
небесных тел (см. ч. III) или параметров их гравитационных полей, а также
в задачах приближения функций (см. гл. 1) и др. приходится встречаться с
системами алгебраических или трансцендентных уравнений, число которых
значительно превышает число неизвестных. Решение и анализ таких систем
уравнений, называемых условными, производится по методу наименьших
квадратов, принадлежащему Гауссу.
§ 4.01. Постановка задачи
Рассматривается система п уравнений относительно т неизвестных *1, . . .
, Хт'
fk{x ......хт) = 1ь (?=1, ..., я), (7.4.01)
причем п значительно больше т и /& - в общем случае некото-
рые алгебраические нелинейные или трансцендентные функции. Это - условные
уравнения общего вида. Правые части lh представляют собой обычно
величины, определяемые по данным наблюдений, и их рассматривают как
случайные величины, подчиняющиеся некоторому вероятностному закону
распределения.
Разности
fk{x j.....xm) - lk (k=\.....ri),
находимые при каких-либо фиксированных значениях хи ..., хт,
называются невязками условных уравнений и обозначаются обычно через 6ft.
Ставится задача найти такие значения Х\....хт, при кото-
рых сумма квадратов невязок
5(*i....xm) = t&l (7.4.02)
690
Ч. VII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
[§ 4.02
минимальна. Они и принимаются в качестве искомого решения условных
уравнений (7.4.01).
Кроме того, ставится задача найти вероятные погрешности полученного
решения условных уравнений в предположении, что величины U......1п
обладают некоторыми средними квадратич-
ными погрешностями.
§ 4.02. Линейные и равноточные условные уравнения
Пусть условные уравнения представляют собой систему линейных
алгебраических уравнений вида
+ . . . + a(tm)xm =lk {k - 1...........я), (7.4.03)
и пусть при этом можно считать, что все случайные величины 1\, . .., 1п
обладают одной и той же средней квадратичной погрешностью. Условные
уравнения называются тогда равноточными, и их решение находится следующим
образом.
Условие минимума суммы квадратов невязок (7.4.02) как функции переменных
Х\.........хт приводит к следующим соот-
ношениям:
[aU) а(1)] + [а(2) а(1)] х2 + ¦¦¦ + [a(m) а(1)] хт =[Za(l>],
[а'1'ар)] *] + [а(2) а'2)] х2 + ¦•¦ [ат а(r)1] хт =[Za(2)],
[a(D а(ш)] Xl + [a(2) a(m)] x2 + ... + [a(m> a(m)] xm = [/
. (7.4.04)
где
[а^а(°']=Е aA)a*0)> [laW]=Z Kak] (/" a = 1.................m)-
fe=l fc=l " "
Эти соотношения представляют собой систему т линейных алгебраических
уравнений относительно того же количества т неизвестных Х\, ..., хт и
носят название нормальных уравнений. Если исключить тот случай, когда
определитель этой системы равен или близок к нулю (это говорит о
неудачном выборе и о непригодности исходных условных уравнений), то
решение нормальных уравнений отыскивают методом последовательного
исключения неизвестных (методом Гаусса) или с помощью определителей. В
последнем случае это решение выражается формулой
xk=^ (* = 1.............m), (7.4.05)
где D и Dit - определители, соответствующие общеизвестному
$ 4.041
ГЛ. 4. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
691
правилу Крамера для решения линейных алгебраических уравнений. Формула
(7.4.05) и определяет искомое решение исходных условных уравнений,
реализующее минимум суммы квадратов невязок (7.4.02).
§ 4.03. Вероятностные оценки погрешности решения
Полученное решение условных уравнений, которое выражается формулой
(7.4.05) и которое обозначим через х\........хт,
рассматривается как система случайных величин, связанных со случайными
величинами U, ..., 1п этой формулой. Существенно, что (7.4.05) определяет
линейную связь между х\, ..., хт и Iь ..., 1п. При этом, если общая
средняя квадратичная погрешность величин /ь ..., обозначается через ст,
то средние квадратичные погрешности величин х\..........хп выражаются
следую-
щими простыми формулами:
= ~ (* = 1..........т), Pk = -?~' (7.4.06)
У°А Dkk
где Dkk - диагональные миноры определителя D (основного определителя
системы нормальных уравнений). Числа pi, ..., рт называются весами
неизвестных Х\.........хт соответственно.
Величина ст вообще неизвестна. Используется ее наиболее вероятное
значение, вычисляемое по формуле
где s - сумма квадратов остаточных невязок, т. е. невязок,
соответствующих решению нормальных уравнений
* = t К1*, + • ¦ ¦ + - lkf. (7.4.08)
С этим значением о вычисляются все о*".
