Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
Этот метод широко применяется в случае малых планет и комет, но вполне
целесообразен во всех случаях, когда движение рассматриваемых небесных
тел мало отклоняется от кепле-ровского.
Пусть Х[, х2, х3 - прямоугольные координаты небесного тела Р с массой т,
движущегося под действием притяжения центрального тела 5 (с массой 1) и
возмущающих сил. Его уравнения движения при условии, что в отсутствие
возмущающих сил движение является кеплеровским, записываются в виде
*?. = -*2(1 +m)Xsirs + VLRs (* = 1,2,3), (7.3.25)
где k2 - постоянная тяготения, г - расстояние от 5 до Р и (i/?s -
относительно малые возмущающие части уравнений, пропорциональные
некоторому малому параметру ц.
Если x°s (s= 1, 2, 3) - координаты тела Р в невозмущенном движении
относительно 5, то уравнения относительно возмущений (отклонений от
кеплеровского движения) us = xs - x°s (s = 1, 2, 3) записываются в виде
^ = k2 (1 + т) [qf (q) xs - aj/rg + ^ (s = 1, 2, 3), (7.3.26) где в
правых частях полагается xs - х° + us,
q = [(*? + j щ) и, + (*? + у и2) "2 + (xl+J О "з]/гЪ f(q) = [l-(l+2q)-
3iqlq
и г0 - расстояние от 5 до Р в невозмущенном движении. Уравнения (7.3.26)
и называются уравнениями Энке. Величины ыя имеют порядок ц, изменяются
гораздо медленнее, чем xs, и шаг интегрирования для этих уравнений может
быть взят гораздо большим, чем для первоначальных уравнений (7.3.25).
Вместе с тем возмущающие части сохраняют, например, в случае малых планет
и комет такую же простую форму, что и в первоначальных уравнениях
(7.3.25).
Если положить в правых частях (7.3.26)
4 = + *>2 + *зи2)/го2-
а также xs = х°, то эти уравнения становятся особенно удобными для
численного интегрирования. Их решение определяет
678
Ч. VII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
[§ 3.09
возмущения us с точностью до членов первого порядка относительно [1
(возмущающих масс в случае малых планет и комет). Такое решение может
служить хорошим первым приближением.
Что касается непосредственного интегрирования уравнений (7.3.26), то
метод может быть любым. Чаще всего применяют метод Коуэлла.
§ 3.09. Общая постановка краевой задачи
для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Случай линейной краевой задачи
В предыдущих параграфах рассматривались методы нахождения решении
обыкновенных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях,
т. е. решений задачи Коши. В настоящее время в астродинамике часто
встречаются задачи другого типа, а именно, краевые задачи (о ряде таких
задач сказано в ч. VIII).
Пусть дана система уравнений общего вида
^ = М*..........Xn,t) (s=l, .... Л), (7.3.27)
заданы точки ti......tk (k ^ 2) и некоторые соотношения
<Da(*i(*i)...(tk)........*n(t\).....*n(fo))=0 (7.3.28)
(a= 1......n).
Задача о нахождении решения системы (7.3.27), удовлетворяющего
соотношениям (7.3.28), называется многоточечной краевой задачей общего
вида. Соотношения (7.3.28) называются краевыми условиями. Если k = 2 (в
краевые условия входят значения искомых функций в двух точках), то
краевая задача называется двухточечной.
Вопрос о существовании решения общей краевой задачи весьма сложный и
исследован далеко не полностью. Эта задача может а) не иметь решений, б)
иметь единственное решение,
в) иметь конечное число решений, г) иметь бесконечное множество
решений. Более простой и лучше исследованной является двухточечная
линейная краевая задача, когда система исходных уравнений
П
= Z А/(0 */ + Ь W = 1..............<7-3-29)
/= I
и краевые двухточечные условия при t = 0, t = I
Фа (*i> • ¦ ¦. хп) as g aalx, (0) + balx, (I) = qa (a = 1, ..., n)
(7.3.30)
§ 3.10) ГЛ. 3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
679
являются линейными. В (7.3.29) функции pSj(t), f,(t) непрерывны на
отрезке 0 ^ / ^ а в (7.3.30) aaj, baj и qa - постоянные числа.
Краевая задача при всех fs = 0, qa = 0 называется однородной и при fs Ф 0
- неоднородной.
Условия существования решения. Пусть {q)Sj(/)}- фундаментальная система
решений уравнений (7.3.29) при всех ft = 0. Рассматривается матрица Q из
элементов Фа(ф^-,
• • ¦ > фпj) (o'* j -- 11 2, ..., /2).
1) Неоднородная краевая задача имеет единственное решение тогда и только
тогда, когда det Q Ф 0. 2) Однородная краевая задача имеет нетривиальное
решение тогда и только тогда, когда det Q = 0.
Важен вопрос о так называемой обусловленности краевой задачи. Краевая
задача называется хорошо обусловленной, если малые изменения
коэффициентов и правых частей исходных дифференциальных уравнений, а
также краевых условий приводят к столь же малым по порядку величины
изменениям решения. В противном случае краевую задачу называют плохо
обусловленной.
Методы решения и анализа краевых задач в настоящее время интенсивно
развиваются и приобретают все более и более важное место в теории
дифференциальных уравнений. Мы ограничимся изложением некоторых методов
решения краевых задач отдельного типа, не останавливаясь на их анализе.
Более подробно можно прочитать о краевых задачах в [3], [9], [20].
