Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
нахождению производных и определенных интегралов от функции при условии
использования только таблицы ее значений, которая или задается (если мы
имеем дело с табличной функцией) или может быть вычислена.
Методы численного дифференцирования и интегрирования основаны на
приближенном представлении функций с помощью или интерполяционных
полиномов или других аппроксимирующих формул, рассмотренных в гл. 1.
Литература по этому вопросу весьма обширна (см. библиографию в [9],
[16]). Мы ограничимся в этой главе основными результатами,
представляющими наибольший практический интерес.
§ 2.01. Численное дифференцирование
с помощью интерполяционных формул
Пусть имеется таблица значений функции f(t) с равноотстоя щими узлами, и
пусть составлена таблица вида 81 ее разностей. Формулы для производных от
f(t) получаются дифференцированием интерполяционных формул для этой
функции.
Дифференцируя формулы Ньютона для интерполяции вперед, Стирлинга и
Бесселя (при этом df/dt = hdf/dq), получим соответственно следующие
выражения производных в точках t = tQ qh (0 ^ q < 1) вблизи узла t0\
г Но + qh) = j [п + qfl + f3o + -АVм- "+•¦¦]• (7-2-02)
2q - 1 f2 i 3дг - 6q + 2 2! ' i 3!
656 ч- VI1- ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ [§ 2.01
Из формулы Ньютона для интерполяции назад получим
П<" + Ih)=t[/-v, + f-. + 3f+^ + 2 fl.,, + ...]
(-1<<7<0). (7.2.04)
Для вторых производных f"{t) имеют место следующие выражения, получаемые
аналогичным образом:
f" (ta + qh) = jr [п + fl + + 22 П+
(7.2.05)
f" (', + r,h) = -i- [/; + "П + П + (7-2.06)
1'Ъ + -w[4 + V-fi +
(7.2.07)
f" (*0 + qh) = ± [fl, + fly, + l2-?+"i + gl fU + • • ¦ ] ¦
(7.2.08)
Часто используют формулы для производных в узле t0. Они получаются из
приведенных выше (частично используем более далекие члены) при q - 0.
ИзформулНьютонадляинтерполяциивперед:
а'.)=Ж+4л-т"+ <7-209>
= + •••]¦ (7.2.10)
Из формул Ньютона для интерполяции назад:
f'(<")-i[fL," + Tf-. +Tf3-"+|fi!+ (7.2.11)
f" С'о) - 4 [/"-. + f - v. + -Т5- f-2 + (7.2.12)
Из формулы Стирлинга:
f'('o)=i[f!-ifl + wfS-mfl+ •••]• (7.2.13)
П<о) = г№-wfS+wfS- •••]• (7.2.14)
§ 2.02| ГЛ. 2. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 657
Из формулы Бесселя:
Формулы численного дифференцирования можно вывести, дифференцируя формулу
Лагранжа (в случае равноотстоящих узлов). Тогда получаем выражения для
производных, содержащие остаточный член. Значения производных выражаются
в этом случае через значения функции f (t) в узлах.
Наиболее употребительны следующие формулы:
где остаточные члены выражены через производные функции /'", /(4), /(5),
/(6) в некоторых промежуточных точках 7, a fh = f(th)-
Формулы для производных находятся также при дифференцировании
аппроксимирующей функции F(t), полученной по методу наименьших квадратов
(см. § 1.07). Такие формулы учитывают сглаживание узловых значений
функции f(t), так что они меньше зависят от возможных ошибок этих узловых
значений. Приведем следующие формулы:
Последняя формула совпадает со второй формулой из (7.2.17).
Если функция аппроксимирована полиномом Фурье F(t) (7.1.40), то имеет
место следующая приближенная формула для производной f'(t):
Г (t3) = ¦(/о - 8/, + 8/з - /4) + ж /(5) (t),
Г(*.) = -*г(/о-2/, +/*)--?/"" (2),
f" м+ 32/> -60^ + 32/з-2/2)+^ /(6) (0,
(7.2.17)
§ 2.02. Другие формулы численного дифференцирования
(7.2.18)
(7.2.19)
658 Ч. VII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ [§ 2.03
Приведем еще одну формулу, выражающую производную через интеграл:
в
П0 = -|Ит-1. \xf(t + x)dx (7.2.20)
* е->0 е j -в
и справедливую, во всяком случае, если функция f(t) разлагается в
окрестности точки t в ряд Тейлора. Отсюда вытекает следующая приближенная
формула:
е
ПО" lir \xf{f + x)dx. (7.2.21)
- Е
§ 2.03. Численное интегрирование функции по таблице ее значений с
постоянным шагом
Формулы для вычисления определенного интеграла
ь
I=\f{t)dt (7.2.22)
а
с помощью таблицы значений подынтегральной функции f(t) называются
квадратурными формулами. Наиболее простые из них получаются, если имеется
таблица значений f{t) в равноотстоящих узлах. Это - фор.ш/лы Ньютона -
Котеса, выводимые путем замены функции f(t) ее интерполяционным полиномом
Лагранжа и последующего буквенного интегрирования.
1. Обозначим
tk - k-\-kh, * = 0, 1.....п, h - (b - а)/п,
to -a, tn = b, /(**) = /*¦
Общий вид формул Ньютона - Котеса следующий:
/"ЕЛ/*, (7.2.23)
где Ak ={b - a)Hk и числа #&, не зависящие от а, Ь и функции f{t),
называются числами Котеса. Формула (7.2.23) при фиксированном п точная,
т. е. знак " заменяется на =, если f(t)-полином степени п или ниже при п
нечетном и степени п -j- 1 или ниже при п четном.
При п = 1 (7.2.23) совпадает с формулой трапеций
(7.2.24)
I 2.03] ГЛ. 2. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ . 6.§9
при п = 2 - с формулой Симпсона
/"-^-(/o + ^. + fc). (7.2.25)
При п = 4 имеем
Т-(?fo + 32^ + 12А* + 32/з + 7U) (7.2.26)
и при п = 6
(41/0 + 216/, + 27и + 272/э + 27/4 + 216/5 + 41/6). (7.2.27)
Теоретические оценки остаточных членов Rn (п = 1,2, 4,6) этих формул, т.
