Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
выражающая точность аппраксима-
646 Ч. VI Г. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ |§ 1.07
ции функции f(t) функцией F(t), определяется по формуле
ft)- ••• (7-1.29)
Важным является случай, когда узлы to.......tN можно вы-
бирать произвольно внутри некоторого интервала (а, Ь). Тогда в качестве
системы функций <pj(t) выбирают полиномы Чебышева, обозначаемые обычно
через Tj(t), а в качестве узлов выбирают корни полинома Чебышева 7V+i(0-
Если начало отсчета t и единица длины выбраны так, что а = - 1, b - 1, то
эти корни равны
{^с05ЖТ1п (* = °. 1....АО- (7.1.30)
Общая формула для Tj(t) следующая:
Т, (t) = cos (/ arccos t) (|/|<1), (7.1.31)
причем T'o = 1, Ti(t)=t, T2(t) = -1+212, а остальные Tj(t)
(j ^ 3) определяются по рекуррентной формуле
Tj (t) = 2tTt-l (/) - T/-2 (0- (7.1.32)
Если при построении аппроксимирующей функции вида (7.1.25) по полиномам
Чебышева
F(fl = a0 + a17,1(fl + ... +anTn(t) (7.1.33)
используется N + I узлов и п = N, то мы получим интерполя-
ционный полином, т. е. полином N-Pi степени, совпадающий с f (t) во всех
узлах. Тогда S = 0.
Для произвольного интервала (а, Ь) узлы tk (k = 0, ..., N) определяются
формулой
J __ ь + о , Ь - а__2k + 1 _ " ,
h 2 2 2N + 2 ' (7.1.34)
а аргументом полиномов Чебышева в (7.1.33) служит вместо t переменная
г = Т=г( 2/-&-а).
Случай равноотстоящих узлов. Пусть узлы t0, ... ..., /jv имеют один и тот
же шаг Л, и пусть начало отсчета и единица длины таковы, что /о = 0, t\ =
1, ..., tN = N. Тогда при построении аппроксимирующей функции вида
(7.1.25) роль
$ 1.081
ГЛ. 1. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
647
ортогональных полиномов фо(0> ф1(0> играют следующие полиномы:
Коэффициенты ?Zj в аппроксимирующей функции (7.1.25) и соответствующая
величина Smin определятся формулами
N
причем знаменатель в последней сумме при j = 0 полагается равным единице.
§ 1.08. Сглаживание табличных значений функций
Пусть в результате измерений или вычислений получена
таблица значений функции f(t) в узлах t0, t\.......причем эти
значения обладают случайными ошибками. Ставится задача исправить эту
таблицу и получить "сглаженные" значения исходной функции в узлах,
освобожденные в известной мере от случайных ошибок. Эта задача решается
путем построения аппроксимирующей сглаживающей функции F(t). При этом в
качестве F(t) обычно выбирается среднеквадратичное наилучшее приближение
функции f(t), рассмотренное в предыдущем параграфе. Соответствующие
значения F(tj) в узлах являются искомыми "сглаженными" значениями.
В частности, если узлы равноотстоящие и аппроксимирующая функция F(t)
строится по каждым пяти соседним значениям исходной функции f{t) с
помощью полиномов Pj,i{t) (/ =
= 0......4) (см. формулу (7.1.35)), то сглаженные значения
F(tj) = Fj для пятерки узлов tj, / = 0,1,2,3,4 выражаются
(/= 1, 2........п),
N
N
У" (ЛГ + 1)(Л/ + 2) ... (N + \+l)
Zj (2/ + 1)ЛГ (ЛГ-1) ... (ЛГ-/+ 1)
648
Ч. VII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
[§ 1.09
следующими формулами через значения f(tj) = fj исходной функции f(t) в
этих узлах:
F0 = (6Э/о + 4/, - 6/2 + 4/з - /"),
Л = ^ (2/о + 27/, + 12/,- 8/з + 2/4),
/Г2 = -^-(-3/0 + 12/, + 17/2 + 12/3 - 3/4), (7.1.37)
= -щ (2/о - 8/i + 12/2 + 27/з + 2/4),
Л = ^ (- /о + 4/, - 6/2 + 4/3 + 69/4).
Формулы (7.1.37) можно записать в ином виде, используя таблицу разностей
функции /(/), а именно:
р1 = 11-1оЪ ^'==0- 4>-
Fj = fj 35/2 O' - 1. 3),
Fi = h-$bf" Г (7Л'38>
где f\ - четвертая разность в строке, соответствующей узлу U.
Отсюда вытекает следующий упрощенный метод сглаживания с помощью
четвертых разностей. А именно, после того, как в каждой строке вычислены
четвертые разности f*, эти разности, умноженные на 3/35, вычитаются из
соответствующих значений функции fj. Таблица исправленных в каждой строке
з
значений - -gg- ft отвечает более гладкой кривой.
§ 1.09. Равномерные приближения
Функция /(/) с известными значениями в узлах ta, ts аппроксимируется
функцией F(t), которая ищется в виде (7.1.25) с помощью системы
ортогональных функций. Однако в отличие от § 1.07 коэффициенты а} в
(7.1.25) ищутся из условия минимума отклонения F(t) от f(t) по абсолютной
величине, т. е. минимума функционала
шах | F (tk) - f (tk) I (k = 0, 1.N). (7.1.39)
k
Функция F(t), реализующая минимум этого функционала, называется наилучшим
равномерным приближением функции f(t) данной системой ортогональных
функций фо(0.........фп(^), а ми-
нимум функционала (7.1.39) представит собой наибольшую аб* солютную
погрешность б этого приближения,
§ 1.101 ГЛ. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ 649
В качестве системы ортогональных функций cpo(i), срi(t), ... часто
выбирают систему полиномов Чебышева, а наилучшее равномерное приближение
F(t) ищется методом итераций (см. [3], т. 1).
Наилучшие равномерные приближения строятся также для функций непрерывного
аргумента, и они применяются для непосредственных вычислений значений
многих распространенных функций. Приведем примеры таких приближений для
некоторых функций, а также наибольшие абсолютные погрешности 6 этих
