Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
выделить наибольшие (пиковые) значения этих функций или непосредственно,
если они совпадают с некоторыми из и bh, или с помощью интерполирования.
Частоты ai, ..., ап, определяемые по обеим последовательностям {ал} и
{ft*}, должны совпадать между собой в пределах той или иной точности.
После того как .......ап найдены, возвращаемся к исход-
ной переменной t и записываем искомый аппроксимирующий полином Фурье в
виде
где ил = ай/Л. В этом выражении частоты coi, ..., со" уже известны и
требуется найти коэффициенты Л0, . .., Вп по заданным 1 +2N значениям
функции f(i) в узлах t\........*2w+i- Это
выполняется точно так же, как указано в § 1.10.
Частоты ш 1, ..., со" могут оказаться все точно или с очень небольшими
отклонениями кратными одной и той же частоте оа. Тогда, положив Т =
2л/со, получим обычный полином Фурье для функции периода Т. В ином случае
следует попытаться пред-
al = jrPl . (/'=1.2.....п),
П
F (t) = А0 + ? (Л* cos соkt + Bk sin co4f),
§ 1.131
ГЛ. 1. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
653
ставить все coi, ..., со" как линейные комбинации нескольких (двух, трех,
четырех) различных частот.
В [14] указывается другой способ нахождения неизвестных частот по
заданной совокупности значений функции /(0):
fk = f(k) (* = 0,1........N- 1)
при целых значениях 0 = 0, 1.......N- 1 нормированной пере-
менной 0.
Выбирается число п (^ iV/З), соответствующее длине искомого
аппроксимирующего полинома
П
F (0) = А0 J] (Ak cos coft0 -|- Вк sin соА0)
и равное количеству искомых частот coi, соп в этом поли-номе.
Рассматривается система линейных уравнений
[/ (0 + f (2п + г - 2)] Qj -j- ... + [/ (г + л - 2) + / (п + г)] ап-j + +
/ (г + п - 1) а" - / (г - 1) - / (2л + i - 1) = 0 (7.1.50) (i=l,
2............................N-2n)
относительно а\......ап. Предпочтительно иметь большое число
N табличных значений функции /(0), выбрать умеренное п, значительно
меньшее N/3, и решать систему (7.1.50) методом наименьших квадратов
(см.гл. 4).
После того как а\, ..., ап найдены, рассматривают тригонометрическое
уравнение
cosrtco - a, cos (л - 1) со - ... - ап~{ cos со - ~ап = 0. (7.1.51)
Если выразить косинусы углов, кратных ш, через степени cos со, то
(7.1.51) примет вид алгебраического уравнения п-й степени относительно у
= cos ш. Корни у\, ..., уп этого уравнения определяют п искомых частот
а", = arccos уъ (k = 1, ..., п) функции /(0) нормированной переменной 0.
§ 1.13. Выделение "вековой части" функции
по совокупности табличных значений
В небесной механике имеют, как правило, дело с функциями двух типов: 1)
функции, описывающие одно- или многочастотные колебания и представимые
полиномами Фурье, которые были рассмотрены выше; 2) функции,
обнаруживающие, кроме подобных колебаний, также изменения,
пропорциональные времени (независимому аргументу). Особенно важен случай,
когда эти изменения относительно малы и представляют собой так называемые
вековые возмущения.
К функциям первого рода относятся, например, оскули* рующие большая
полуось и эксцентриситет орбиты планеты.
654 ч. VII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ [I 1.13
К функциям второго рода - оскулирующие долгота узла и долгота перигелия
орбиты.
При анализе совокупности табличных значений функций второго рода ставится
задача об аппроксимации этих функций функциями вида
F(t) = A0 + B^ + F(t), (7.1.52)
где F(t) - обычный тригонометрический полином с одной или несколькими
частотами без свободного члена, а А0 + B0t - линейная часть функции F(t)-
свободный член А0 плюс вековая часть B0t.
а) Следуя [5], укажем методику определения А0 и В0.
Пусть fh = f(tk) (k = 1....N)-заданные табличные зна-
чения функции f (t). Составляем соотношения
A0 + Batk = fk (k=\.......N), (7.1.53)
представляющие собой условные уравнения (см. гл. 4) относительно
неизвестных А0, В0. Решение уравнений ищется по методу наименьших
квадратов (см. гл. 4), что приводит к следующим выражениям:
N N IN
Ao=irZfk' flo=2>*-o/j?(/*-*)2,
ft=l ft=l I *=>1
^ = •^-^1 + • • ¦ +^)-
(7.1.54)
При таком выборе A0, BQ линейная функция A0 + B0t соответствует табличным
значениям fh (k = I.......N) в среднем.
Разности
f(tk)-Aa~B0tk (k=l............N)
рассматриваются как совокупность табличных значений новой функции f{t),
которую следует аппроксимировать тригонометрическом полиномом F(t).
б) В [15] предложена другая методика выделения линейной части функции
/(/). А именно, рассматривается график этой функции и подбирается
графически такая прямая у = А0 -f- B0t и такие примерно равноотстоящие
точки /0> tu h, что и и
] (f(t)-Ao-BQt)dt= 5 (f (t) - А0 - B0t) dt = 0.
/о *0
При этом равенство нулю этих интегралов проверяется с по* мощью оценок
соответствующих площадей на рисунке с графиком функции f(t) и с прямой у
= А0 + B0t. В [15] достигается точность определения А0 до 1° и So до
0°,05 при принятой единице времени, равной одному году,
Глава 2
ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Численным дифференцированием и интегрированием называются операции по
