Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
самым возмущающая функция R не содержит не только второй, но и третьей
зональной гармоники. Она включает в себя лишь члены, порядок которых 10~6
и выше. Таким образом, функция W весьма хорошо аппроксимирует потенциал
притяжения реальной Земли.
Перейдем теперь к интегрированию дифференциальных уравнений задачи. Из
формулы (6.3.01) следует, что функцию W можно интерпретировать как
силовую функцию задачи двух
неподвижных центров с комплексными массами -у-(1+ш) и
у- (1 -to) и с мнимым взаимным расстоянием, равным ic. А как
известно, задача двух неподвижных центров является одной из немногих
задач механики, интегрируемых в квадратурах.
Дифференциальные уравнения движения могут быть проинтегрированы методом
Гамильтона - Якоби, если ввести сфероидальные координаты I, г] и w,
связанные с х, у, г формулами
Х = У(?.2 + с^)(1 -V) COS W,
(6.3.33)
У = V(S2 + c2)(l - л2) sinau, z = ca + |t).
В этих координатах кинетическая энергия Т и силовая функция W имеют вид
r-H^+TjV+g+0/(!=3M (6-3'34)
W = -fm , (6.3.35)
где
J = F+C\*.
С помощью (6.3.34) и (6.3.35) легко составить уравнение Гамильтона -
Якоби. Оно имеет следующий вид:
E! + cV"V , 1-Я* f3S\* ,
-ij-brJ +-5r4i^J +
i 1 ( dS Л2 fm(| - сот]) , ,c о осч
+ ;е, + .,Ц-"Ы =--------^7-"¦ + ">• (6'3'36)
где а, - постоянная.
8 З.оз; ГЛ. 3. ТЕОРИЯ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ОРБИТ ИСЗ 587
Полный интеграл уравнения (6.3.36) находится методом разделения
переменных и дается формулой
где
S ~ S F +с*2 ^ + S dj] + (6.3.37)
+ СЧ2. }
2. 2 \ (6.3.38)
а2)~"з- J
Ф(1) = (I2 + с0-) (2а,Б* + 2fml - о|) + с2о|,
•f (л) == (1 - л') (2"- 2/тсстт, -J- i
а а[, а2, а3 - произвольные постоянные Якоби.
Из (6.3.37) нетрудно найти три первых интеграла задачи
d\ _ _ Л/ТО _ V^Tn) ] dt J ' dt J ¦ | (6.3.39)
(1-Л2)(Е2 + с2)^- = а3. )
Введем новую независимую переменную т согласно уравнению
dt = Jdx. (6.3.40)
Тогда из равенств (6.3.39) находим
Ыж=т+с-'
: Т + с2,
л/Ф(|) J V^(T1)
St2 ^2-2
(?2 + с2) (1 - л2) dT Сз'
(6.3.41)
где Сь с2, с3 - постоянные интегрирования.
Таким образом, задача свелась к обращению квадратур. После того, как из
первых двух равенств (6.3.41) найдем | и т, как явные функции т, третье
равенство (6.3.41) даст w как функцию т, а уравнение (6.3.40) позволит
связать т с временем t.
Замечания. Функция W содержит два параметра сна, которые мы выбрали так,
чтобы вторая и третья гармоники в разложении потенциала U совпадали с
таковыми в разложении W. Рассмотрим теперь некоторые частные случаи.
Пусть а = 0, с Ф 0. Тогда формулы (6.3.28) и (6.3.29) дают
¦^2n+i ==(r)> /2П+1=( I) (77) ' c = roVA
и, следовательно, формула (6.3.27) совпадает с формулой Винти и
Кислика.
Пусть ст = 0, с Ф 0. Тогда, если ввести
р = л/г2 - 2 гс + с2
разложить W в ряд по степеням с и сохранить члены до с2 включительно, то
получим формулу Баррара.
588 ч. vi. Движение искусственных спутников земли [§ з.04
Пусть, наконец, ст = О, с - 0. Тогда формула (6.3.25) даст нам потенциал
шарообразной Земли.
Таким образом, формула (6.3.25) включает в себя как частные или
предельные случаи промежуточные потенциалы Винти и Кислика, Баррара и
невозмущенный потенциал Земли. Пока она является наиболее общей формулой
для промежуточного потенциала, допускающего интегрирование уравнений
движения в квадратурах.
Обобщенной задаче двух неподвижных центров посвящено более сотни работ.
Многие из них нашли отражение в книге [27]. Здесь мы отметим те из них,
которые касаются качественных исследований.
Пусть h есть постоянная энергии. Тогда, если h < 0, то все движения
происходят в ограниченной части пространства. Если же /i^O, то движения
оказываются неограниченными в пространстве. Подробный качественный анализ
в случае ст = 0 для h < 0 был дан в работах [37], [38] и в общем случае в
работе [39]. Качественные исследования неограниченных движений были
выполнены при ст = 0 и А = 0 в работе [40] и для h > 0 в работе (41]. При
а ф 0 подобные исследования содержатся в статье [42]. Полярные орбиты (i
= 90°) были подробно рассмотрены для ст - 0 в работе (43] и для ст ф 0 в
работе [44].
Устойчивость частных движений (круговых, эллиптических, эллипсоидальных и
др.) была исследована для случая ст = 0 в работе [45] и для случая ст^Ов
работе [46].
Различные формулы, описывающие промежуточную орбиту, были опубликованы в
статьях [47] - [51]. Механический смысл силовой функции задачи рассмотрен
в работе [52].
§ 3.04. Промежуточная орбита, основанная
на обобщенной задаче двух неподвижных центров
Здесь будут приведены формулы, позволяющие находить координаты спутника в
промежуточном движении для произвольного момента времени t. Пусть а, е,
t, й0, и0 и М0 - элементы промежуточной орбиты. Тогда порядок вычисления
прямоугольных координат х, у, г спутника может быть следующим [48].
1) Определение if:
M = na{t-tQ) + MQ, (6.3.42)
Е - М + е* sin Е + Аф - cos 0 - Я2 sin 20, (6.3.43)
(6.3.42)
0 = (1 + v) яр + (c)о,
(6.3.44)
(6.3.45)
S 3.04] ГЛ. 3. ТЕОРИЯ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ОРБИТ ИСЗ ?89
