Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
+ 4 h (y-)2 COS2 i [n (t -t0)~Y sin 2я], (6.2.49)
где в правых частях нужно заменить все элементы их невозмущенными
значениями.
4. Вычисление возмущенных координат. Возмущенные прямоугольные
геоцентрические экваториальные координаты вычисляются по формулам
х = г (cos и cos Q - sin и sin Я cos i), у = /• (cos и sin Я + sin ucos Я
cost), ' (6.2.50)
2 = г sin и sin t, где с точностью до вторых степеней Ли/ и = х -j- 2
(I sin Я - A cos Я) + (/а - Л2) sin 2Я - hi cos 2Я, (6.2.51)
г ;= a (l - / cos Я - Л sin Я + h ----- cos 2Я - hi sin 2я),
(6.2.52)
576 ч. VI. ДВИЖЕНИЕ ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОЙ ЗЕМЛИ [$ 2.03
причем
а = Яд -|- бя, i = i"o "Ь Si, Q = Qa "Ь ^Q, ")
A = Ao+6A, l = l0 + 8l, K = Ko + no(t-t0) + 6l, J (6'2'53)
a 5a, б г, ..., 6A, определяются формулами (6.2.37) - (6.2.42).
5. Замечания. Выведенные выше формулы имеют компактный вид и не
содержат особенностей при е0 = 0. Они удобны для исследования движения
спутников с малыми эксцентриситетами. Однако, поскольку решение задачи
было получено в нетригонометрическом виде и не были вычислены вековые
члены порядка /г. ими можно пользоваться только на небольших промежутках
времени.
Глава 3
ТЕОРИЯ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ОРБИТ ИСЗ
В этой главе изложена теория промежуточных орбит ИСЗ. Эти орбиты строятся
на основе некоторых аппроксимирующих выражений для потенциала притяжения
Земли, допускающих интегрирование дифференциальных уравнений движения
спутника в квадратурах. Поскольку аппроксимирующие выражения включают в
себя основную часть возмущающей функции, обус: ловленной несферичностью
Земли, промежуточные орбиты оказываются более близкими к истинной орбите
спутника, чем кеп-леровский эллипс. В некоторых случаях метод
промежуточных орбит позволяет математически строго решить главную
проблему в теории движения ИСЗ.
§ 3.01. Задачи Штерна, Гарфинкеля и Акснеса
В этом параграфе рассмотрены модельные задачи Т. Штерна [24], Б.
Гарфинкеля [25] и К. Акснеса [26], которые дают приближенные решения
проблемы о движении спутника с учетом сжатия Земли. Эти решения
определяют некоторые промежуточные орбиты, которые более близки к
истинной орбите спутника, чем кеплеровская орбита, и могут
рассматриваться как невозмущенные при построении полной теории движения
спутника. Поскольку здесь вводятся формулы, которые аппроксимируют только
первые два члена потенциала притяжения Земли, то для силовой функции U
можно принять следующее упрощенное выражение:
где f- постоянная притяжения, т и г0 -масса и средний экваториальный
радиус Земли, /г - безразмерная постоянная, т и Ф - геоцентрический
радиус-вектор и широта спутника. В формуле (6.3.01) отброшены члены,
имеющие порядок и выше.
19 Под ред, Г. Н. Дубошина
(6.3.01)
578 Ч. VI. ДВИЖЕНИЕ ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ [§ 3.01
1. Задача Штерна. Для аппроксимации лиловой функции U Т. Штерн вводит
функцию V, которая определяется следующей формулой:
г-т-Ь+^-М1 -Tsin2l')~
- y/2 7^(sin2(P - Tsin2l')}' (6-302)
где р - параметр, i - наклон орбиты спутника. Эта формула и дает
промежуточный потенциал или силовую функцию в задаче Штерна *). Пусть
R = U - V
есть возмущающая функция. Тогда из (6.3.01) и (6.3.02) находим
R = - у fmJ2 )2 (sin2 ф - у sin21) (7- - у) ¦ (6.3.03)
Эта формула показывает, что для орбит с малым эксцентриситетом е функция
R будет малой величиной. Поэтому можно считать, что для таких орбит
функция V достаточно хорошо аппроксимирует силовую функцию U.
Дифференциальные уравнения движения спутника в силовом, поле с
потенциалом V строго интегрируются в квадратурах. Если воспользоваться
сферическими координатами г, ф, Я, связанными с экваториальными
геоцентрическими прямоугольными координатами х, у, г формулами
X = Г COS ф cos Я,
у = г cos ф sin А,, ? (6.3.04)
z == г sin ф, )
и применить метод Гамильтона - Якоби, то полный интеграл уравнения
Гамильтона запишется в виде
Г Ф
S = 4b* +J-^dr+ J УлГЖр, (6.3.05)
где
L ---2а,г2 + 2fmr - а2 + ~~ В,
2 3jmI2ra • 2 • 2 2
- а2----2р- 1 - аз sec Ч5----------
о
*} В книге [27] эта формула была ошибочно приписана Б. Гарфинкелю,
§ 3.01]
ГЛ. 3. ТЕОРИЯ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ОРБИТ ИСЗ
579
причем
B=^(l -jsiA).
а оси а2, аз - произвольные постоянные.
Знание полного интеграла S, как известно, позволяет записать общий
интеграл задачи. Мы не будем здесь выписывать общего решения, а приведем
лишь три первых интеграла, которые легко находятся из (6.3.05). Они имеют
следующий вид:
dr 'Jb dw л/Ж , n dk
IT*-• * rcosy~df - "з
и полностью решают задачу. Формулы, описывающие промежуточную орбиту,
приводятся в уже указанной работе .Т. Штерна [24] и его книге [28].
2. Задача Гарфинкеля. Б. Гарфинкель предложил следующую формулу
промежуточного потенциала:
V = -^{l -|/2-^(l -4sin2i)Vb=^-
3 rz 1
-g /2-^(sin2(p - cos2/)| (6.3.06)
или
V=-y - j fmJ2 -py (sin2 ф - cos21), (6.3.07)
где
Vi = fm{ 1 - ysin2/) Vl -e2}- (6.3.08)
Формулы (6.3.01) и (6.3.06) дают следующее выражение для возмущающей
функции:
R _ _ !Jm_ | ^ _ Г) _ (j ^ ф _ | cos, ,) _
