Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
оо
* = -1TLJn От)" Рп (sin ф) - о (63). (6.3.17)
п~ 3
Таким образом, функция V отличается от U членами порядка j'z и,
следовательно, дает достаточно хорошее приближение к потенциалу
притяжения Земли.
Чтобы проинтегрировать дифференциальные уравнения движения в силовом поле
с потенциалом V, введем сферические координаты р, rp, X по формулам
X = р cos ф COS %,
// = pcosiJ)sinA,, z = б + р sin г|з,
так что
г - Vp2 + 2бр sin г|з -f б2, tg ф = tg "Ф + sec г|з.
Тогда
Ml. (6.3.18)
§ 3.02]
ГЛ. 3. ТЕОРИЯ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ОРБИТ ИСЗ
583
Сопоставление формул (6.3.18) и (6.3.12) показывает, что соответствующее
уравнение Гамильтона - Якоби должно интегрироваться методом разделения
переменных.
Первые интегралы задачи Баррара можно записать в виде
Формулы, описывающие промежуточную орбиту Р. Баррара, получены в уже
указанной работе [29]. Они приводятся также в книге [27].
2. Задача Винти и Кйслика. Дж. Винти и М. Д. Кислик предложили новые
аппроксимирующие выражения для потенциала притяжения Земли. Эти
выражения, в сущности совпадающие друг с другом, можно представить
следующей формулой:
Сравнивая формулу (6.3.19) с (6.3.13), мы видим, что первые два члена в
разложении V в точности совпадают с первыми двумя членами в разложении U.
Если обозначить через R возмущающую функцию, то
Поскольку коэффициенты имеют второй порядок малости относительно /2, то
из формул (6.3.20) и (6.3.21) видно, что возмущающая функция содержит
лишь члены второго порядка. В этом отношении формула (6.3.19),
несомненно, имеет явное преимущество по сравнению с формулой (6.3.14).
Дифференциальные уравнения задачи Винти и Кислика могут быть
проинтегрированы в сфероидальных координатах
I, т], w, связанных с х, у, г равенствами
рЪ = си р2 + р2-ф2 + р2А,2 cos2 ф = 2V + с2, Р4 СФ2 + Л2 cos2 -ф) + 2fm&
sin -ф = c3.
00
(6.3.20)
где
(6.3.21)
x = V(S2 + C2)(1 - Л2) COSaj, |
У = У(?2 + c2)(l -II2) sin w, г = 1 T]-
(6.3.22)
584 ч. vi. Движение искусственных спутников Земли [§ з.оэ Первые
интегралы задачи записываются в следующем виде:
dl V(r)(?) dii лЛЧл)
dt I ' dt J
(?2 + c2)( 1-Л2)-^ = аз,
(6.3.23)
где
I = l2 + c\\
Ф ffi) = {I2 + c") (2atf + 2fm\ - a2) + c2a2,
F (Л) = (! - tf) + a2) - a2,
c = r0V^2" (6.3.24)
a ai, аг, аз - канонические постоянные Якоби.
3. Замечания. Хотя задача Баррара и представляет интерес и могла бы
найти приложения при изучении движения далеких спутников, нужно все же
подчеркнуть особую важность задачи Винти и Кислика. Здесь мы имеем
интегрируемую динамическую проблему, которая имеет важнейшие приложения в
современной небесной механике, как в теории движения ИСЗ, так и в теории
движения естественных спутников планет.
Промежуточная орбита, основанная на задаче Винти и Кислика, исследовалась
не только авторами, но и многими другими. Рабочие формулы для вычисления
промежуточной орбиты были получены Дж. Винти [30], [32], М. Д. Кисликом
[31], [33] и И. Ижаком [34].
§ 3.03. Обобщенная задача двух неподвижных центров
В 1961 г. Е. П. Аксенов, Е. А. Гребеников, В. Г. Демин предложили для
построения теории движения ИСЗ использовать обобщенную задачу двух
неподвижных центров [35], [36]. Задача Эта заключается в исследовании
движения спутника й гравитационном поле, потенциал которого дается
формулой
^ = + (6.3.25)
Здесь f и m - постоянная притяжения и масса Земли, i =*.
<= V- 1,
r\ = х2 + у2 + [г - с (а + О]2, 1 г2 = х2 + у2 + [г - с (от - О]2, J
а с и сг - некоторые вещественные постоянные.
(6.3.26)
§ 3.03] ГЛ. 3. ТЕОРИЯ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ОРБИТ ИСЗ 585
Предполагая, что с и а малы, разложим W в ряд по полиномам Лежандра.
Тогда получим
V~JT {1 - ЁОт)1 <sln <р> 1 ¦ <6-3-27>
' ft=2 J
где коэффициенты /' даются равенством
/; = - у (-^У {(1 + /"т)("т + if + (1 - la) (а - *)*}. (6.3.28)
Отсюда, в частности, следует, что при вещественных сна для
любого целого k коэффициенты J'k являются величинами действительными.
Выберем теперь с и а из условий
]' = J У = J
J 2 2> 3 ¦'З"
Тогда
(6.3.29)
Подставляя в (6.3.29) вместо г0, /2 и /3 их числовые значения из § 1.02,
найдем
с = 209,729 км, а = - 0,035647. (6.3.30)
При этих значениях для г0, с и а из формулы (6.3.28) получаем
Ji= 1,166 • 10_6, л =-0,006 • 10_6.
При этом J'k для будут меньше 10-9. Таким образом, хотя
]\ и /4 не равны друг другу, однако их разность меньше, чем /4.
Вследствие малости отношения с/г0 постоянные J'k убывают с возрастанием k
быстрее, чем Jh. Поэтому разность функций U и W будет содержать члены,
порядок которых 10_6 и выше. Пусть
R = U - W,
где U дается формулой (6.3.01), есть возмущающая функция. Тогда
K = ^fJin(If)aPn(sin4>), (6.3.31)
п=> 4
- (6.3.32)
586 ч- VI- ДВИЖЕНИЕ ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ [§ 3.03
Если воспользоваться числовыми данными § 1.02, то для постоянных jn
получим (в единицах 10_6)
/4 = 0,427, /5 = 0,236,
/е = 0,502, /7 = 0,361,
/8 = 0,118, /д = 0,100.
Итак, если с и а выбрать из условий (6.3.29), то первые три члена формулы
(6.3.27) будут совпадать с первыми тремя членами формулы (6.3.01). Тем
