Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
-т^-О-т*1"4)}- <6-3-09>
Формула (6.3.06) была подобрана таким образом, чтобы промежуточная орбита
учитывала все вековые возмущения первого порядка.
Как и в задаче Штерна, уравнения движения с силовой функцией,
определяемой формулой (6.3.06), интегрируются методом Гамильтона - Якоби
путем разделения переменных.
19*
580 ч. VI. ДВИЖЕНИЕ ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ 18 3.01
Первые интегралы задачи Гарфинкеля имеют вид у (г2 + г2ф2 + г2 cos2 фЯ2)
- V = О],
2 цг + 2а/2 - r2f2 = а?, г2 cos2 фЯ = а3,
где аь вег, "з - произвольные постоянные. Формулы, описывающие
промежуточное движение, приводятся в работе Б. Гарфинкеля [25].
3. Задача К. Акснеса. К. Акснес строит свою промежуточную орбиту на
основе промежуточного потенциала V, определяемого формулой
(6'ЗЛ0)
Формула для возмущающей функции R в этом случае имеет вид
R = fmJ2 (-?-)2 (4 зт2ф - 1) (i- - 1). (6.3.11)
Функция V, таким образом, мало отличается от U, если эксцентриситет
орбиты спутника является малой величиной. Как и в задаче Гарфинкеля, она
выбрана так, чтобы промежуточная орбита учитывала вековые возмущения
первого порядка относительно J%.
Общее решение уравнений промежуточного движения в этом случае также может
быть найдено методом Гамильтона - Якоби. Оно получено в работе [26].
Приведем здесь первые интегралы задачи Акснеса. Они таковы:
Jg. + fi-*Is-+0-ro,
o' - r' (cos' ф*.! + ф!) O' -1, (jm f rl (3 sin' q> - 1) = 0,
г2 соз2фЯ = H.
Здесь L, G, H - канонические постоянные Делоне.
4. Замечания. Предложенные Т. Штерном, Б. Гарфинкелем и К. Акснесом
промежуточные потенциалы по своей структуре имеют много общего друг с
другом. Все три потенциала можно записать в такой общей форме:
у = /7(г) + (r)М. (6.3.12)
Отсюда и следует интегрируемость рассмотренных задач, ибо эта форма, как
известно, позволяет проинтегрировать соответствующее уравнение Гамильтона
- Якоби методом разделения
9 3.02]
ГЛ. 3. ТЕОРИЯ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ОРБИТ ИСЗ
581
переменных [27]*). Далее, все промежуточные потенциалы обладают тем
важным свойством, что они дают возможность построить промежуточные
орбиты, учитывающие важнейшие неравенства в движении спутника, а именно,
вековые возмущения первого порядка относительно сжатия Земли.
К настоящему времени наиболее полно разработана промежуточная орбита
Акснеса. На ее основе была развита теория, учитывающая вторую, третью и
четвертую зональные гармоники геопотенциала. Эта теория дает вековые
возмущения до третьего и периодические до второго порядка относительно 1г
включительно.
Недостатки всех промежуточных потенциалов заключаются в следующем. Все
они зависят не только от характеристик гравитационного поля Земли, но и
от элементов орбиты (большая полуось, эксцентриситет, наклон) спутника.
Поэтому точность аппроксимации для разных орбит будет разной. Во всех
случаях возмущающая функция содержит коротко-периодические члены первого,
порядка относительно /г. Следовательно, промежуточные орбиты не учитывают
этих возмущений, и их нужно определять методами теории возмущений.
§ З.С2. Задачи Баррара, Винти и Кислика
В этом параграфе будет рассмотрен другой тип аппроксимирующих выражений
для потенциала притяжения Земли. Эти выражения были предложены Р.
Барраром [29], Дж. Винти [30] и М. Д. Кисликом [31]. Все они обладают
двумя важнейшими свойствами. Во-первых, они отличаются от потенциала
реальной Земли членами порядка выше первого относительно сжатия. Во-
вторых, дифференциальные уравнения движения в гравитационном поле,
определяемом аппроксимирующими потенциалами, строго интегрируются в
квадратурах. В отличие от промежуточных потенциалов, рассмотренных в
предыдущих параграфах, они зависят только от постоянных гравитационного
поля Земли, и не зависят от элементов орбиты спутника. Возмущающая
функция в этом случае не содержит второй зональной гармоники.
Если отбросить тессеральные и секториальные гармоники, то потенциал
притяжения Земли можно записать в виде
и = -Т- { 1 - ? (rff р"<sin ч>)} ¦ <6-3-13)
' л=2 '
где Рп - полином Лежандра п-го порядка.
*) К сожалению, задача не интегрируется, если во втором слагаемом
(6.3.12) показатель у г будет равен 3, а не 2. В этом случае формула
(6.3.12) содержала бы как частный случай формулу (6.3.01).
582 Ч. VI. ДВИЖЕНИЕ ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ [§ 3.02
1. Задача Баррара. Задача Р. Баррара заключается в изучении
движения спутника в гравитационном поле с потенциалом
V=Jf{1 (6'ЗЛ4)
где
Р = л/х2 + у2 + {г - б)2.
Предполагая, что б - малая величина, разложим V в ряд по степеням б.
Тогда
V=-!y-{l - 4^ P2(sin Ф) } + О (б3), (6.3.15)
где _____________
г = л]х2 -f у2 + z2, z = г sin ф,
а О (б3)-некоторая функция, имеющая третий порядок малости относительно
б.
Выберем б так, чтобы __
6 = г0л/Т;. (6.3.16)
Тогда первые два члена формулы (6.3.15) будут соответственно равны первым
двум членам формулы (6.3.13).
Если через R обозначить возмущающую функцию
R = U - V, то из (6.3.13) и (6.3.15) находим
