Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
выражается соотношением
U = + j (х2 + у2) - i ez2cos о, (5.3.02)
Pi = (* + и)2 + У2 + z2,
Pi = (х - 1 + и)2 + У2 + г2-
Переход от истинной аномалии v к времени t осуществляется
с помощью равенства
П+""?"¦!>' , (5.3.04)
dt рh
е, р - соответственно эксцентриситет и параметр конического се* чения.
Системы единиц выбраны следующим образом: Р0Рi = 1, сумма масс
возмущающих тел равна единице, постоянная тяготения f = 1.
Уравнения (5.3.01) имеют томографические лагранжевы частные решения,
рассмотренные в § 1.02. В выбранной системе координат томографические
решения изображаются неподвижными точками. Например, точка либрации L4
имеет координаты
= У4 = ^§~, г4 = 0. (5.3.05)
В зависимости от значения эксцентриситета е можно различать
три частных случая ограниченной задачи трех тел: ограниченная
эллиптическая задача (0 < е < 1), ограниченная параболическая задача
(е=1), ограниченная гиперболическая задача (е>1). Некоторые варианты
ограниченной задачи трех тел, когда все массы отличны от нуля,
рассмотрены в работе
Н. Д. Моисеева [25].
§ 3.02. Задача двух неподвижных центров
Задача двух неподвижных центров - это задача о движении материальной
точки Р с нулевой массой в ньютоновском поле притяжения, создаваемом
двумя неподвижными в абсолютной системе координат 0\т]? притягивающими
центрами Р0 и Pi с массами т0 и гп\ соответственно.
Если началом координат О выбрана середина отрезка РаРх = 2с и ось 0?
направлена по прямой PqPi, то уравнения
(5.3.03)
550
Ч. V. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
[§ 3.02
движения точки Р имеют вид
d2\ _ dU d2r\ _ dU d.2l _ дU
dt2 ~ <5? ' dt2 ~ <5ri ' dt2 ~ dt,
где
г20 = ?2 + т,2 + (? + ^* ^ = ?4ri4tt-c)J
(5.3.06)
(5.3:07)
(5.3.08)
Задача двух неподвижных центров относится к интегрируемым задачам
небесной механики. Если перейти от координат т), ? к эллипсоидальным
координатам А,, ц,, w с помощью соотношений (26]
I = cX\i,
т) = с-\/(^2-0(1 - м-2) sin (5.3.09)
? = с -у/(к2 - 1) (1 - ц2) cos а;
и ввести новую независимую переменную [26] т:
dx 1
dt ~ К1 - ц2 *
то система (5.3.06) приводится к уравнениям
¦§-=Умч.
•g-лЛМй.
dw dt где
Fx (К) = С,Я4 + На*+лл +
flm. + m.) С?
+ (С2-е,)Я2- 4 JC3 -Я--^ Fa(v) = civ.*+ +
~ Сз ( 1 - ц2 + Я2 - 1 ) '
С 2,
f (т, - т) С*
+ (С2 + С,)ц"- Je3
(5.3.10)
(5.3.11)
(5.3.12)
Интегрирование уравнений (5.3.11) дает общее решение задачи двух
неподвижных центров, зависящее от шести произвольных
S 3.03] гл. 3. ДРУГИЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
551
постоянных Сь С2, С3, С4, С5, С6. Качественному анализу задачи двух
неподвижных центров посвящено много работ [4], (27] - [30]. Особое
значение приобрела эта задача в связи с исследованием движения
искусственных спутников планет. В этом случае потенциал сфероидальной
планеты удается с высокой точностью аппроксимировать потенциалом так
называемой обобщенной задачи двух неподвижных центров [26], [31].
В спутниковой теории массам неподвижных центров приписываются надлежащим
образом выбранные комплексно-сопряженные значения, а сами центры
располагаются на некотором мнимом расстоянии. Развитая на основе
обобщенной задачи теория движения ИСЗ изложена в ч. VI.
§ 3.03. Задача Хилла
Задача Хилла - это предельный вариант ограниченной эллиптической задачи
трех тел Р0, Р\, Р, получаемый из последней, если Солнце Ро удаляется на
бесконечность таким образом, чтобы оставалось справедливым соотношение
nlal = f (то + mi)> (5.3.13)
где а0- большая полуось орбиты Солнца, п0 - среднее движение Солнца.
Из равенства (5.3.13) вытекает, что масса Солнца т0 неограниченно
возрастает и, следовательно, возмущающее влияние Солнца на движение точки
Р в некоторой степени сохраняется.
Если ввести планетоцентрическую прямоугольную вращающуюся систему
координат P\xyz, ось Р\Х которой проходит через Солнце Р0, то уравнения
движения в задаче Хилла примут вид [1]-{3]
d2x dt2
d2y | dx i fmiy _ da
dy . fmix 2n°-dt+-?~
dt2 d2z
4F
fm iz
I 2 ____ dQ
о dz '
(5.3.14)
где
Q=|ng[3^2-3x2 + r2^1 --J)]. (5.3.15)
r - планетоцентрическое расстояние точки P, т\ ^ планетоцен* трическое
расстояние Солнца Ро-
552
Ч. V. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
Если эксцентриситет орбиты Солнца е0 = 0, то ?2 = 0 и уравнения Хилла
(5.3.14) принимают вид
?х_
dt2
о_ аУ I 2n*~di + -
а2У Л-Or, dx _L
~7W + 2n° It +
3
fm\y
dt2 d2z
IF
3n^ = 0,
= 0,
+ -^+п*г =0.
(5.3.16)
T* ¦ '(г
Уравнения (5.3.16) допускают интеграл Якоби
(If)2 + (I)2 + Й)2 = 3ло*2 - + ^ + 2А, (5.3.17)
где h - произвольная постоянная.
Наконец, плоская круговая задача Хилла описывается системой
дифференциальных уравнений четвертого порядка:
d2x о- аУ I
------2п° чг + -
dx dt
dt2
d2y
dt2
2n0 "37 ¦
- 3nlx : frmy
(5.3.18)
Уравнения Хилла служат основой для теории движения Луны Хилла - Брауна,
изложенной в гл. 10 ч. IV.
ЛИТЕРАТУРА К ЧАСТИ V
1. Субботин М. Ф., Курс небесной механики, т. 2, ОНТИ, 1937.
2. С у б б о т и н М. Ф., Введение в теоретическую астрономию, "Наука",
1968.
3. Дубошин Г. Н., Небесная механика. Аналитические и качественные
