Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
пространства с центром в планете Я. и с радиусом/", равным расстоянию
Либрационной точки Li от планеты Pi.
S 2.05] ГЛ. 2. ОГРАНИЧЕННАЯ КРУГОВАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 539
Радиус сферы Хилла г определяется формулой (5.2.13) (см. § 2.03)
*5 2-29>
Значения радиусов сфер Хилла для больших планет и Луны даны в табл. 71.
Таблица 71
Планета г Планета г Планета г
Меркурий Венера Земля Марс 0,00148 0,00674 0,01001 0,00724 Юпитер
Сатурн Уран Нептун 0,34697 0,42881 0,46494 0,77035 Плутон Луна -
Земля Луна-Солнце 0,38392 0,00039 0,00234
Гравитационная сфера Хилла определяет область пространства, в которой
движения точки Р устойчивы в смысле Хилла (см. ч. X, § 3.03), т. е. точка
Р будет вечно спутником планеты.
В книге [14] можно найти определение и размеры гравитационных сфер Солнца
относительно ядра Галактики.
§ 2.05. Периодические решения ограниченной
круговой задачи трех тел
Приведенные в § 2.03 лагранжевы решения ограниченной круговой задачи трех
тел являются примером периодических орбит. Но этим не исчерпываются все
известные периодические решения ограниченной круговой задачи.
Периодические орбиты можно было бы объединить в следующие классы:
а) периодические решения в окрестности точек либрации
L\....L5 (почти-либрационные решения);
б) периодические орбиты в окрестности одной из притягивающих масс
(спутниковые орбиты);
в) периодические решения Пуанкаре первого сорта;
г) периодические решения Пуанкаре второго сорта;
д) периодические решения Пуанкаре третьего сорта;
е) периодические решения других сортов.
Классы а) и б) периодических орбит были в первом приближении получены без
использования методов Ляпунова и Пуанкаре отыскания периодических решений
и были известны задолго до Ляпунова и Пуанкаре.
Рассмотрим более подробно почти-либрационные решения в окрестности точки
(или L5).
540
Ч. V. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
Г§ 2.05
Ради простоты положим f = 1, п2 = т0 + т\ = 1, т0 = 1 - ц, т 1 = [г.
Тогда лагранжево периодическое решение, изображаемое точкой Z-4, дается
формулами
1 V3 "
^/.4 2 У L* 2 *
(5.2.30)
Для исследования решений ограниченной круговой задачи трех тел введем
новые переменные ti, ?:
l = x - xLl, ti = ij - yLt, ? = z. (5.2.31)
Тогда вместо уравнений (5.2.01) будем иметь уравнения
d% п dr] д& d=ri , 0 dl dQ' d2?
dt
dQ' дт\ * dt2
dQ'
at '
(5.2.32)
n dr\ 5Я'
~dt* 4t~~dl~' dt2
где
G'tt, Л. 0=y[^ + Tl2 + ^(l-2fi)+TiV3] + ^ + -^. (5.2.33) ^==^2 + ri2 + ?2
+ ^ + TiV3 + l, r? = E2 + n* + 52 - g + Ti V3 + l.
" <эй' atr <эй'
Если разложить , -щ- в ряды по степеням §, Л. ?
и сохранить в них лишь линейные члены, то получаем дифференциальные
уравнения первого приближения*). В частности, для плоского случая будем
иметь
(5.2.34)
d4
dt2
n dTl _ 3 * I 3 л/з" (1 -2ц) _ 2~dF-l^ +-----4---Ч.
d2T] i о dl dt- _t" dt
3л/3(1 -2|i) , , 9 _ -------a-------6 + T1!-
(5.2.35)
В переменных ?i, r]i, связанных с ?, т] формулами преобразования
?, = ?cos0 + r| sin 0, т)| = - ?sin0 + tjcos 0, (5.2.36)
где _
tg 20 = - V 3 (1 - 2[i), (5.2.37)
уравнения (5.2.35) записываются в виде
d>h 2^1l = |(1 + Vl - 3|*(1 -!*))?"
dt2
4?L + 2-fL==}0 - Vl -3|X(1 -pi)) Tlx.
dt
d-h
(5.2.38)
*) Уравнения первого приближения часто называются уравнениями в
вариациях.
541
(5.2.39)
если ±Яь ±Я2 являются корнями характеристического уравнения
Я4 - Я2 + ц (1 - ц) = 0 (5.2.40)
и
0 < ц < ц0> 1 -Цо<И<1. (5.2.41)
причем
ц0 = ^^-"0,03852. (5.2.42)
Условия (5.2.41) и (5.2.42) указывают на то, что лагранжево треугольное
решение L4 устойчиво в смысле Ляпунова в первом приближении (см. ч. X,
гл. 3).
Если jxo <1 fx <1 1 - цо, то общее решение уравнений (5.2.38)
будет содержать неограниченные функции времени, поэтому
в этом случае точка либрации L4 неустойчива в смысле Ляпунова (см. ч. X,
гл. 3).
Замечание 1. Эти выводы в равной мере относятся и к точке либрации Ls.
Замечание 2. Точки либрации L\, L2, L3 неустойчивы в смысле Ляпунова даже
в первом приближении [1].
Полученные Пуанкаре [16] периодические решения классов
в), г) и д) характеризуются тем, что их периоды совпадают с периодом
"порождающего" решения, т. е. решения уравнений движения при нулевом
значении малого параметра.
Различия между ними следующие:
1) решения первого сорта - это плоские почти-круговые периодические
решения;
2) решения второго сорта - плоские почти-эллиптические периодические
решения;
3) решения третьего сорта - пространственные периодические решения.
Для решений первого сорта оскулирующий эксцентриситет пропорционален ц
[см. (5.2.40)] и поэтому обращается в нуль вместе с а для решений второго
сорта е ф 0 при н = 0. Пуанкаре доказал, что такие периодические решения
имеются и в неограниченной задаче трех тел.
§ 2.05] ГЛ. 2. ОГРАНИЧЕННАЯ КРУГОВАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
Общее решение системы (5.2.38) имеет вид [2]
= С] cos (Я,* (Х|) -(- С2 cos (Я2/ Ч- а2), 1
т), = sin (Я^ + dj) + q2C2 sin (Я2/ + а2), J
где Ci, С2, ось а2 - произвольные постоянные, a
2Х~ + 3 д/1 -Зц(1 -II) .. ,
Qi 4Л (i 1, 2),
