Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
постоянно.
Как и в случае неограниченной задачи, координаты точек либрации Li и L5 в
системе Gxy даются равенствами
*2 = ^°±И, У2 = ±Щ'-(Ъ-Хо). (5.2.08)
Будем считать в дальнейшем, что Po^i = 1. Тогда
y2=±^f. (.5.2.09)
Величина 2, введенная для точки либрации Lx в § 1.02, равна
г = ТГ7. г = \РР{ |. (5.2.10)
Расстояние г определяется как положительный корень уравнения
(т0 + тх) г5 - (3m0 + 2т:) г4 -f
-f (Зт0 -f m,) r3 - m{r2 -f 2mxr - = 0, (5.2.11)
получаемого из уравнения (5.1.17), если заменить z через г и положить т2
= 0.
Решение (5.2.11) можно представить в виде ряда по степеням малого
параметра
ts-2-lS)
если считать т\ < т0.
536 Ч. V. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ [§ 2.04
Для г имеем выражение
r = v-|v2-|v3- ... (5.2.13)
Для точки либрации Ь2 величина г, определяемая соотношением (5.1.18),
равна
z = x2 - = Р\Р2 = г. (5.2.14)
В этом случае г должно определяться как положительный корень уравнения
(т0 + т,) г5 + (3тй + 2ту) г4 +
+ (3 та + /П|) г3 - т/2 - 2т,л - т{ = 0, (5.2.15)
получаемого из (5.1.17) при z - г и т2 = 0.
Для точки либрации Ь2 имеем
r = v + iv-|v2+ ... (5.2.16)
Наконец, для точки либрации L3 величина z равна
z = x0 - х2 = 1 Р0Р \ = гх. (5.2.17)
Она определяется как положительный корень уравнения (л!0 + mjrs + (2m0+
3m,) л4 +
4-(m 4 3m )л? - m rj - 2т/, - m = 0, (5.2.18)
получаемого из (5.1.22), если положить z = г\ и т2 = 0.
Решение уравнения (5.2.18) можно представить в виде ряда
'='-Т2" + Ш"'+ ¦¦¦¦ <5-2Л9>
где
И = -?*-. (5.2.20)
Решение уравнений (5.2.11), (5.2.15) и (5.2.18) можно искать и в виде
других степенных рядов (см. [2], [3]).
Зная координаты точек либрации, можно определить значения постоянной
Якоби С для лагранжевых решений. Численные значения постоянной Якоби для
L\, ..., L5 можно найти, например, в [1] - [4].
§ 2.04. Различные гравитационные сферы
Для наглядности предположим, что одним притягивающим телом (Р0) является
Солнце, другим (Pi) - большая планета, Луна или какой-либо спутник
большой планеты, а точка с ну-
§ 2.04] ГЛ. 2. ОГРАНИЧЕННАЯ КРУГОВАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
537
левой массой (притягиваемое тело) Р- комета, астероид или искусственный
небесный объект.
Пусть R0 - ускорение, сообщаемое нулевой массе Р Солнцем, когда последнее
принимается за центральное тело, a Fi - возмущающее ускорение, вызываемое
притяжением планеты Р\. Пусть, далее, R\ - ускорение, сообщаемое нулепой
массе Р планетой Pi, когда планета принимается за центральное тело, a F0
- возмущающее ускорение, вызываемое притяжением
Солнца Ро.
Определение. Сферой тяготения планеты называется область трехмерного
пространства, в которой
Rl > Д0. (5.2.21)
Очевидно, граница сферы тяготения планеты определяется уравнением
Ri = R0. (5.2.22)
Легко убедиться, что поверхность (5.2.22) не является сферой в строгом
смысле. Приближенное значение радиуса сферы тяготения планеты
определяется по формуле
e=riVw' (5-2'23)
где Г\ - расстояние планеты Р\ от Солнца Р0.
Определение. Сферой действия планеты Р^ называется область пространства,
в которой
Il>1
(5.2.24)
Граница сферы действия планеты Р; определяется уравнением
<5-2-25)
Приближенное значение радиуса сферы действия планеты определяется по
формуле
<6-2-26'
Так как г\ для всех больших планет не постоянно, а колеблется в некоторых
пределах, то отсюда следует, что р и pi также колеблются в некоторых
пределах. Подробности о гравитационных сферах можно найти в [14]. В табл.
68 приводятся радиусы сфер тяготения больших планет и Луны в а. е., а в
табл. 69 - радиусы их сфер действия (а. е.).
538
Ч. V. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
Таблица 68
[§ 2.04
Таблица 69
Планета Pmln Ртах Планета Pi, mln Pi, max
Меркурий 0,00013 0,00019 Меркурий 0,00060 0,00091
Венера 0,00112 0,00114 Венера 0,00409 0,00415
Земля 0,00171 0,00177 Земля 0,00610 0,00631
Марс 0,00078 0,00095 Марс 0,00350 0,00422
Юпитер 0,15298 0,16855 Юпитер 0,30665 0,33786
Сатурн 0,15222 0,17017 Сатурн 0,34428 0,38488
' Уран 0,12091 0,13289 Уран 0,32991 0,36261
Нептун 0,21452 0,21823 Нептун 0,57551 0,58547
Плутон 0,04959 0,08214 Плутон 0,17825 0,29523
Луна - Земля 0,00027 0,00030 Луна-Земля 0,00042
0,00047
Луна -Солнце 0,00019 0,00019 Луна-Солнце 0,00105
0,00108
Определение. Сферой влияния планеты Рi относительно Солнца Ро называется
сфера, центр которой совпадает с центром планеты и с радиусом
Р2 =?= 1,15г. (5.2.27)
где, как и раньше,
r^l/VM- (5.2.28)
М. Д. Кислик показал [15], что построение траекторий космического
полета методом "склеивания" выгоднее, если вместо
сфер действия рассматривать сферы влияния. В этом случае ошибки в
параметрах траектории при переходе от одного притягивающего центра к
другому в среднем минимальны. Средние радиусы сфер влняния больших планет
относительно Солнца в а. е. даны в табл. 70.
Таблица 70
Планета р> Планета р2 Планета Pi
Меркурий Венера Земля 0,00241 0,01138 0,01672 Марс Юпитер Сатурн
0,01204 0,58863 0,72241 Уран Нептун Плутон 0,77592 1,29766
0,61885
Определение. Гравитационной сферой Хилла [11] называется область
