Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
Замечание 1. Положение тел Ро, Р1, Л> неизменно лишь в системе координат
Gxyz. В абсолютной системе 0?г]? (рис. 71) вся система обладает
поступательно-вращательным движением, так как центр масс G движется
прямолинейно и равномерно относительно 0?rit, а прямая Gx вращается с
постоянной угловой скоростью п в плоскости Gxy || 0?т].
Замечание 2. Нас интересуют лишь положительные
корни уравнений (5.1.17), (5.1.22), (5.1.27). Согласно теореме Декарта
{6], [7] каждое из этих уравнений имеет только один положительный корень.
В книгах [1] - [4] можно найти координаты точек либрации Li, L2, L3 для
задачи трех тел: Солнце - большая планета-¦ астероид.
%
Рис. 71. Коллнпеарные и треугольные точки либрации.
532
Ч. V. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
f§ 1.02
Гомографические лагранжевы решения - это частные решения уравнений
(5.1.05), удовлетворяющие условиям
(5л-32)
ч
где р(/)-некоторая функция времени, ДГ/ - начальное значение взаимного
расстояния Д,-;-. Очевидно, что круговые лагранжевы решения и
коллинеарные лагранжевы решения являются частным случаем томографических
решений, получаемых при р(0 = 1- Доказательство существования
томографических кол-линеарных и треугольных лагранжевых решений можно
найти в книге Г. Н. Дубошина [3]. Полную теорию томографических решений в
задаче п тел, построенную Пицетти, можно найти в книге А. Уинтнера [8]
(см также [9]).
Примечание. Используются и другие обозначения точек либрации.
Глава 2
ОГРАНИЧЕННАЯ КРУГОВАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
Эта глава посвящена важнейшей задаче небесной механики - ограниченной
круговой задаче трех тел. Она нашла широкое применение как в классической
небесной механике (теория движения Луны), так и в динамике космического
полета (задача достижения Луны). Изложены сведения о либрацион-ных
решениях. Приведены сведения о сферах действия планет,
§ 2.01. Дифференциальные уравнения движения.
Интеграл Якоби
Ограниченная круговая задача трех тел - это задача о движении
материальной точки Р2 = Р с нулевой массой т2 = 0, притягиваемой по
закону Ньютона двумя другими материальными точками Ро и Pi, имеющими
отличные от нуля массы т0 и mi и движущимися по круговым кеплеровским
орбитам вокруг общего центра масс.
Ограниченная задача трех тел представляет собой предельный вариант
неограниченной задачи трех тел, поэтому дифференциальные уравнения
движения в различных системах координат могут быть получены из уравнений
(5.1.01), если в них положить т2 = 0.
Чаще всего для описания движения точки Р используется барицентрическая
прямоугольная система координат Gxyz, равномерно вращающаяся с угловой
скоростью, равной среднему движению п точек Р0 и Р\, причем плоскость Gxy
совпадает с плоскостью орбит точек Р0 и Pi, которые находятся на оси Gx
(рис. 72). Координаты х, у, z точки Р определяются из системы
Рис. 72. Равномерно вращающаяся барицентрическая система координат.
534 Ч. V. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
дифференциальных уравнений [1], [3], [4]
[§ 2.02
d-x -2 n dy
dt2 dt dx
d-y + 2 n dx <3Q
dt2 ~dt ~~ dy
d-z dQ
dt2 dz
(5.2.01)
где
Q
(х, у, г) =-^(*2 + y2) + f{^ + ~)<' га = (х + ао)2 + У2 + z2,
r\ = (х - а,)2 + у2 + z2,
(5.2.02)
f - постоянная тяготения.
Система (5.2.01) обладает первым интегралом
(4г)!+(1Т+(4т-)г=2а-с' <5-2-03>
называемым интегралом Якоби.
Плоская ограниченная круговая задача трех тел описывается системой
дифференциальных уравнений четвертого порядка
drx п dy ______________________ 5Q
4t- ~di dx '
d~JL I n- dx -
t2 "Г .
(5.2.04)
dt'2 1 dt dy для которых интеграл Якоби имеет вид
Другие первые интегралы систем (5.2.01) и (5.2.04) неизвестны, поэтому
общее решение ограниченной круговой задачи трех тел до настоящего времени
не найдено.
§ 2.02. Поверхность нулевой относительной скорости
Определение. Поверхностью нулевой относительной скорости (поверхностью
Хилла) называется поверхность, определяемая уравнением
2Q = С, (5.2.05)
или, в развернутом виде,
Шо , \ п
n2(x2 + y2) + 2f(-j=
X + а0)2 + У2 + z2 л/(* - "i)2 + У2 + Z2.
(5.2.06)
S 2.03] ГЛ. 2. ОГРАНИЧЕННАЯ КРУГОВАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 535
В плоской ограниченной круговой задаче трех тел поверхности нулевой
скорости соответствует кривая нулевой скорости (кривая Хилла)
n2(x2 + y2) + 2f(~ . m° = +--?*-= с. (5.2.07)
W(* + во)2 + У2 V(* - Oi)2 + У2)
Из (5.2.06) видно, что поверхность нулевой скорости симметрична
относительно координатных плоскостей Gxy и Gxz. Поверхность нулевой
скорости разделяет пространство на области, в которых возможны реальные
движения точки Р (области возможности движения 2Q ^ С), и области, в
которых ее реальные движения невозможны (области невозможности движения
2Q < С). Эти поверхности хорошо изучены [1] - [4], [10] - [13].
§ 2.03. Лагранжевы решения ограниченной круговой задачи трех тел. Точки
либрации
Ограниченная круговая задача трех тел имеет известные частные решения:
треугольные лагранжевы решения и колли-неарные лагранжевы решения.
Томографических лагранжевых решений нет, так как расстояние PqPi
