Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
Поверхность Хилла дается соотношением
п2с (ch2 и - cos2 о) j^fll 4 a°^-с (a] - a0) ch и cos v +
+ с2 ch2 и cos2v + с2 sh2 и sin2 v cos2 a;] +
+ 2/ [m0 (ch и + cos о) + тj (ch и - cos и)] -
- сС (ch2 и - cos2 v) = 0, (5.2.53)
С - постоянная, определяемая начальными условиями.
В плоском случае кривая Хилла имеет уравнение
п2с3 ch4 и - п2с2 (a! - а0) ch3 и cos v - с (n2a0ai + С) (ch2 и - cos2 v)
+ + [2/ (т0 + rrii) + п2с2 (ai - а0) cos3 v] ch и +
-f 2/ (m0 - m{) cos v - n2c3 cos4 v = 0. (5.2.54)
В эллиптических переменных кривая Хилла имеет более простой вид, чем в
прямоугольных координатах (5.2.07). Уравнение (5.2.54) разрешимо в явном
виде относительно ch и или cos и, так как оно представляет собой
алгебраическое уравнение четвертой степени относительно этих переменных.
18 Под гед. Г. Н. Дубошина
546
Ч. V. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
t§ 2.08
chi/
Приближенные области возможности движения на плоскости Gxy, приведенные
во многих книгах [2, 4], отображаются
в заштрихованные области на рис. 74.
Вся плоскость Gxy отображается на плоскости (cos v, ch и) в полосу {ch и
^ 1, - 1 ^ cos v ^ 1}, поэтому при достаточно больших .положительных
энергиях областью возможности движения на плоскости (cos v, ch и) будет
вся указанная полоса.
Рис. 74. Области возможности движения (заштрихованные части) на плоскости
(cos v, ch и), где ь, и -эллиптические координаты. Отмеченные прямые
линии и эллипс изображают кривую Хилла на этой плоскости.
§ 2.08. Уравнение Г амильтона -Я коби в эллипсоидальных переменных
В эллипсоидальных координатах и, v, w уравнение Гамильтона - Якоби для
ограниченной круговой задачи имеет вид
sh2 и sin2 V [(-g-)2 + (If-)2] + (ch2 и - cos2 v) (If-)2 +
-f- 2 (-^- sin 2v - I ch и sin y) sh2 и sin2 v cos w +
2 Ц sh 2u - I sh и cos i/) sh2 и sin2 v cos w +
dS
-j- 2 (I - nc2 ch и cos u) (ch2 и - cos2 v) sh и sin w cos w ==
= 2hc2 (ch2 и - cos2 v) sh2 и sin2 v +
+ 2fc \(m0 + mj) ch и + (m0 - m,) cos v] sh2 и sin2 v. (5.2.55)
В плоском варианте (nu = 0, w = 0, -^-=0) I32]
{Ш + OfT + 2 4f- Sin 2o - (ch <1 sin o) +
+ 2Jc [(m0 -f m4) ch и -f (ma - mx) cos v]. (5.2.56)
-j- 2 Ц (-j- sh 2m - Ishu cos v) = 2he2 (ch2 и - cos2 v) +
. 2.09]
ГЛ. 2. ОГРАНИЧЕННАЯ КРУГОВАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
547
§ 2.09. Понижение порядка системы уравнений плоской ограниченной круговой
задачи трех тел
Методом Лагранжа - Шарпи [33] уравнение Гамильтона - Якоби (5.2.56),
которое является нелинейным уравнением в частных производных с двумя
аргументами, можно привести к квазилинейному уравнению в частных
производных, искомая функция в котором также зависит от двух аргументов.
Это уравнение имеет вид [34]
1
Зф
V А3 + 0,5Лз + ф ди V + 0,5Л3 - ф dv
= F{u, v, w), (5.2.57)
А] (и) = sh22и + [Ac2 ¦
п2с2 (а , - а0у 8
Jch2u +
+ 2fc (т0 + ту) ch и + а,
A-i ip) = sin2 2v - J he2 + " c -- J cos 2v +
+ 2fc (m0 - m,) cos v - a,
Л3 (и, и) = n ° (ch и cos 3u - ch 3и cos v),
F (и, v, ф) = 2nc2 (ch 2и - cos 2v) -
n2c3(at - a0) (sh и cos 3ti - 3 sh 3и cos v) ,
8 An -Ь 0,5A3 + ф
я2с3 (fl| - a0) (sin p ch 3u - 3 sin 3v ch u)
8 V At + 0,5Л3 - ф
+
(5.2.58)
a - произвольная постоянная.
Кроме того, интегрирование уравнения Гамильтона - Якоби (5.2.56) сводится
к нахождению одного первого интеграла обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка [34]
d.2u
2 [Л, (в) + А, (о) + Л" (и. ")]-jy +
+?['+№* ¦ "
+ 2nc2(ch2u - cos2w)[l + (-^г)2](u)+A2(v)+A3 (и, w)]'/j=0.
(5.2.59)
Вопросы интегрируемости уравнений ограниченной круговой задачи трех тел
рассматриваются в части X,
Глава 3
ДРУГИЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
В целом ряде практических задач астрономии и динамики космического полета
вместо рассмотрения задачи трех тел в строгой постановке вполне
достаточно исходить из различных упрощенных ее вариантов, так называемых
ограниченных задач. В этой главе излагаются ограниченные задачи, нашедшие
наиболее широкие приложения на практике.
§ 3.01. Общий случай ограниченной задачи трех тел
Ограниченная задача трех тел - это задача о движении материальной точки Р
с нулевой массой, притягиваемой по закону Ньютона двумя другими
материальными точками Р0 и Ри имеющими отличные от нуля массы 1 - ц и ц и
движущимися по кеплеровским орбитам вокруг общего центра масс.
Ограниченная круговая задача трех тел является частным случаем этой
задачи.
Дифференциальные уравнения движения задачи могут быть написаны в
различных видах, однако наиболее удобная форма уравнений была дана
Нехвилом {23] и Н. Ф. Рейн [24]. Пусть Gxyz- барицентрическая
прямоугольная неравномерно вращающаяся система координат, плоскость Gxy
которой совпадает с плоскостью орбит конечных масс, а направление оси Gx
совпадает с направлением PqP\. Дифференциальные уравнения движения точки
Р имеют вид [23]
dPx _ о
dv1
-S+2
dU
dv 1 + e cos v dx
dx I dU
dv 1 + e cos v dy
d2z 1 dU
dv2
1 + е cos v dz '
(5.3.01)
§ 3.02]
1'Л. 3. ДРУГИЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
549
где v - истинная аномалия одной из возмущающих масс, а функция U
