Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
141. Чеботарев Г. А., Шмакова М. Я., Бюлл. Ин-та теорет, астрон. АН СССР
12, № 8, 1971.
142. Duncombe R. L., Astron. Papers 20, ч. 2, 1970.
Часть V ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
Глава 1
НЕОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
Ниже приводятся основные сведения о задаче трех тел. Даются некоторые
формы дифференциальных уравнений движения. Рассмотрены частные ее
решения. Дополнительные сведения можно найти в монографиях и учебных
пособиях [1] - [5].
§ 1.01. Различные формы дифференциальных уравнений
движения задачи трех тел
Пусть имеются три материальные точки Ро, Р\, Р2 с массами т0 ф Q, т.\ ф
0, т2 ф 0, взаимно притягивающие друг друга по закону всемирного
тяготения. Неограниченная задача трех тел состоит в определении и
изучении всевозможных движений материальных точек Р0, Ри Р2. Поскольку
задача трех тел - частный случай задачи п тел, уравнения движения в
различных системах координат могут быть получены из уравнений задачи п
тел (ч. IV, гл. 1), если положить в них п = 2.
В частности, дифференциальные уравнения абсолютного движения получаются
из уравнений (4.1.01) и имеют вид
mt d2h dU
dt- db
mt d2r\i dU
dt2 dr\t
ml d-U dU
dt'1 dti
(/ = 0, 1, 2).
Силовая функция задачи U определяется формулой
TJ - f ( m°mi _L w°m2 _1_ wlwJ 4 Adi ^ Л02 + Дц )'
(5.1.02)
§ 1.01]
ГЛ. 1. НЕОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
525
где f - постоянная тяготения, Д0ь Аог, Д12- взаимные расстояния между
точками Р0 и Р\, Ро и Р2, Рi и Р2 соответи.зенно, выражаемые формулами
А?, = & - I/)2 + (л; - л,)2 + & - $,)* (/, } - 0, 17 2; i ф /).
(5.1.03)
Уравнения (5.1.01) имеют 10 известных первых интегралов: шесть интегралов
движения центра масс системы, три интеграла площадей и интеграл энергии.
Эти интегралы получаются из (4.1.04) - (4.1.06), если в последних
положить п - 2.
Порядок системы (5.1.01), равный 18, можно понизить на 12 единиц.
В развернутой форме уравнения (5.1.01) имеют вид
d-\0 dt2 = //"1 61 60 Aai + fm2 62-60 Лш '
d2r\o dt2 = fml ¦Hi - 'lo Д01 + fm. ¦Пз - % Д02
d2S 0 - fmi Si - So + frn2 S2 - So
dt2 4 Д02 '
d°-h dt7 = fm 0 60-61 A01 + fm 2 62-6! Д?2 '
d2 Tii dt2 = fm0 ¦По - Л1 До. ¦ + fm2 П2 - Til .3 ^12
d%x dt2 = frtk So-Cl *3 Л01 + fm2- S2 - Si Д?2 '
d~h - fm 60-62 + fmt 6:-62
dt2 I fn0 *12 '
(Pr\., dt2 = fm0 По-Ъ A3 a02 + fmt 111 - П2 Д?2
d% 2 dt2 = fm0 So - Cl A 02 + fmj S1-S2 Д|2
Дифференциальные уравнения неограниченной задачи трех тел в других
системах координат и в явном виде приведены в книгах [1] - [5].
В барицентрической равномерно вращающейся с некоторой постоянной угловой
скоростью п прямоугольной декартовой системе координат Gxy, расположенной
в плоскости начального
526
Ч. V. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
Н 1.01
треугольника PqP\P2, уравнения движения плоской задачи имеют вид [2]
d4t о d"i 2 , 1 ди
гг-2 п -гг- - n2Xi +
dt
dt2
d*yi , n dxi 2
-Г?г + 2п -тг = П UI -|--------------------------5----
dt2 ' dt ' т[ ду{
mt dxt
1 dU
(5.1.05)
(/-0, 1, 2).
Силовая функция U выражается формулой (5.1.02), где А?/= (*!-¦*/)* +
(^~0/)2-
Кроме того, координаты xit у{ (i = 0, 1,2) удовлетворяют соотношениям
т0хо mlxl -f т2х2 = (
ЩУо + ЩУ\ + т,
*2*2 = 0, | *¦1/2 = 0, J
(5.1.06)
так как центр масс G принят за начало координат.
Если точка Р0 изображает Солнце, то уравнения движения точек Pi и Р2 в
прямоугольной гелиоцентрической системе координат выражаются равенствами
dt2 ri
d2yi , I (m0 -fmilj/]
dt2 + r]
d2zt , f(m0 + m,)z, _
dt2
d2x2 . !{m0 + m2) x2
dt-
d2y2 , f(m0+m2)y2
dt2 1 4
d2z2 . f{ma + m2)z2
21
dt
HV-'J
(5.1.07)
где xt, уi, zt - прямоугольные гелиоцентрические координаты точки Р[ (t =
1, 2),
r}=x] + y] + z],
Д?2 = = (*2 ~ *l)3 + {.У2 ~ У+ (Z2 ~
§ 1.02J
ГЛ. 1. НЕОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
527
Система имеет четыре известных первых интеграла (три интеграла площадей и
интеграл энергии):
- + т2у2) (m,z, -f m2z2) -
- (/71,2, -f m2z2) (т;г/, -f m2y2)] -f {y{z{ - z,&) +
-f m2 {y2Z2 - z2y2) = cu
- KmiZi + m2z2) (m,x, -f m2x2) -
- (ffijxi -f m2x2) (m,^ -f m2z2)] -f m, (z^i - x^) +
-)- /П2 (z2-^2 - ^2^2) = C2i
- 4" [((tm)i*i + "2*2) (rn,& + m2y2) -
(5.1.08)
- (т,г/, -f m2y2,) (m^ + m2x2)] + m, (x1yI - jr^) +
4- m2 (jc2?2 - y2x2) = c3,
- [("Mi + m2x2)2 + (miyl+m2y2)2-+{m1zl -f m2z2)2] -f
+ i-m, {x} + ^ + i*) + ¦i + $ + z2) = ?/ + ft', (5.1.09)
где m = m0 + ffi! + m2; Ci, c2, c3, A - произвольные постоянные.
А. М. Ляпуновым выведены уравнения движения в задаче трех тел [1] в
специальных переменных, особенно удобных для отыскания частных решений
Лагранжа.
§ 1.02. Лагранжевы решения. Точки либрации
Определение. Равновесным решением некоторого векторного дифференциального
уравнения
'4jL = F(y, х), х<=Х,
(5.1.10)
называется постоянный вектор у = а, удовлетворяющий уравнению (5.1.10).
Для того чтобы постоянный вектор у - а был частным решением уравнения
(5.1.10), необходимо и достаточно, чтобы он был решением векторного
функционального уравнения
F(y,x) = 0 (5.1.11)
для любого не! Чаще всего ищут равновесные решения в случае автономных
