Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
систем дифференциальных уравнений (F зависит только от
искомого вектора у). Тогда равновесные решения
определяются функциональным уравнением
Пя) = 0, (5.1.1?)
528
Ч. V. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
[§ 1.02
Если применить (5.1.12) к уравнениям (5.1.05), в которых уравнения для
координат точки Р0 заменены тождествами (5.1.06), то необходимое и
достаточное условие существования равновесных решений (или положений
равновесия) в задаче трех тел выражается уравнениями
тйХо + + т2х 2 = 0,
- п2хг + fm0
Дш
fm, ¦
¦0,
- я*
п2х2 + fm,
X., - *1
+ fma
¦
= 0,
02
т0у0+ т]у1 + т2у2 = 0,
У\ - Уг _
0.
42
- nhji + fm0 у\3- + fm2
Д01
- п2у2 + fmx + /то = 0.
Д12 Д02
(5.1.13)
Система (5.1.13) состоит из шести уравнений с семью неизвестными: п, х0,
хи х2, уо, уи г/2.
Определение. Лагранжевыми частными решениями задачи трех тел называются
вещественные решения системы
(5.1.13).
Таковыми являются:
а) круговые лагранжевы решения-,
б) коллинеарные лагранжевы решения-,
в) гомографические лагранжевы решения.
Решения а) и б) являются частным случаем решений в) и их выделение в
отдельные группы объясняется методическими соображениями.
Круговые лагранжевы решения - это такие решения системы
(5.1.13), для которых
До1 - А 02 - Д12 - а,
"2 f ш0 + "1 + т2 П ------- I л3
(5.1.14)
(5.1.15)
(а - произвольная постоянная) и среди неизвестных х0, -*2.
Уо, У\, У2 четыре считаются произвольными постоянными. Если, например,
считать, что у^ = у\ - 0, а. х0 и Xi - известные, от* личные от нуля
числа, то
*9 =
S 1.021
ГЛ. 1. НЕОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
529
Точка Р2 с массой т2 занимает одно из двух положений L4 и Z-5 на рис. 67.
Точки L\ и L5 называются треугольными точками либрации.
В системе координат Gxy точки Ро,
Р1, Яг образуют неподвижный равносторонний треугольник со стороной а,
ориентация которого определяется четырьмя произвольными постоянными.
Отсюда следует, что при заданном а имеется четырехпараметрическое
семейство круговых лагранжевых решений.
В абсолютной системе координат 0?т]? центр масс треугольника PoP\Pz будет
двигаться равномерно и прямолинейно, а точки Р0, Р1, Р2 будут равномерно
вращаться вокруг С с угловой скоростью п. Таким образом, равновесные
решения в системе Gxy не будут таковыми в системе 0?г]?.
Коллинеарные лагранжевы решения определяются из системы (5.1.13), если
считать, что Уо = У\ - У2 = ^, а абсциссы
У,
Ро Iff р, рг ^ рг р0 ff Р/ 3!
Рис* 68. Первое взаимное распо- Рис. 69. Второе взаимное
располо-
ложение точек Р0, Pi, Р2. жение точек Р0, ри Я*.
У
Р0Сха^
/ ^
Рис. 67. Треугольные точки ли брации.
точек Pq, Pi, Рз определяются из системы уравнений
- пгх 1
ШоХо + mxxx + m2x2 = 0, fm0 (*i - х0) I fm2 (*i - *г)
+
о,
- п2х2 + - *") f'n° ~ - о
Д3
I о
л02
(5.1.16)
Возможны три расположения точек Ро, Pi, Рг на прямой:
1) х0 < хх < х2 (рис. 68),
2) х2 < х0 < (рис. 69),
3) х0 < хг < хх (рис. 70).
в, ff Рг Р, з.?
530 Ч. V. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ I§ 1.02
Решение системы (5.1.16) для случая 1) сводится к решению уравнения
(т0 + т,) г5 + (3т0 + 2т,) г4 + (3т0 + т,) г3 -
- (т! + 3 т2)г2 - (2т, + Зт2) z - (т, + т2) = 0, (5.1.17)
где
г = (5-1.18)
A I AQ
Если считать Х\ известным, то после решения (5.1.17) дгэ
и Х2 определяются из равенств
¦ <5-иэ>
*=x'A-J,"++*?u ¦ (5-'-2о)
а угловая скорость п дается формулой
Рис. 70. Третье взаимное расположе f (таг2 - т2) (т2г2 + т0)2 /с
, П1ч
ние точек Р,, Рг. п2 = --т _ (5.1.21)
*1 (mJ + mi + т.) 2
Существует однопараметрическое семейство частных решений типа 1), так как
Х\ - произвольный параметр.
Для случая 2) решение системы (5.1.16) сводится к решению алгебраического
уравнения
(mj + m,) z5 + (2m0 + 3m,) z4 + (mj -f 3m,) z3 -
- (m0 + 3m2) z2 - (2m0 + 3m2) z - (m0 + m2) = 0, (5.1.22)
где
z = -(5.1.23) *0 - xl
Если Xo задано и уравнение (5.1.22) решено, то Xi, х2 и п определяются по
формулам
Щг + (W° + mi)-, (5.1.24)
1 и nil - m2z 4 '
m, + (m" + mi)z ^ mi - m2z ' (b.i.2b)
n2 =
__________f (mi - m2z)3 [m0 (z + 1 )2 + m2]_______________ j
xl (m, + m, + m f (z + l)2 [m^z + (т0 + m,)]
Так как xQ - произвольный параметр, то здесь также имеется
однопараметрическое семейство коллинеарных лагранжевых решений.
§ 1.021
ГЛ. 1. НЕОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
531
Наконец, для случая 3) решение системы (5.1.16) сводится к решению
уравнения
(т0 + т2) z5 + (3 тл + 2т2) г4 + (3та + т2) г? -
- (т2 + 3ту) z2 - (2т, + 3тх) z - [т^ + т2) = 0, (5.1.27)
где
z=.*i- ъ т (5.1.28)
%2 - *0
Считая х2 произвольным параметром, все остальные неизвестные находим из
соотношений
тхг - (/"! + т2)
Х\=Х2
miZ + m0 1 mi - (m0 + m2)z m\Z + m0
f (m0z2 - mi) (mtz2 + m0)2 x\ (Wj + m, + m,)
г
(5.1.29)
(5.1.30)
(5.1.31)
%
в
Здесь также имеется однопараметрическое семейство колли-неарных
лагранжевых решений.
Если то > mi т2, то положение точки Р2 в случае 1) называется точкой
либрации Ь2, положение Р2 в случае 2) называется точкой либрации L3, а
положение Р2 в случае 3) называется точкой либрации L\.
