Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
542
Ч. V. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
[§ 2 07
К периодическим решениям класса е) можно отнести периодические орбиты с
периодом, отличным от периода порождающего решения. Такими являются
периодические решения Шварц-шильда [17]. Эти вопросы подробно рассмотрены
в фундаментальном сочинении Пуанкаре [16], а также в книгах Г. Н. Дубо-
шина [3], Ф. Мультона [18], Г. А. Чеботарева [19] и К- Зигеля [20].
Кроме аналитических методов для отыскания периодических решений
ограниченной круговой задачи трех тел применялись и численные методы. Эти
результаты, сопровождаемые подробной библиографией, можно найти в
монографии В. Себехея [21].
§ 2.06. Критерий Тиссерана
При близком прохождении кометы от большой планеты элементы ее орбиты
могут заметно измениться, поэтому возникает вопрос об отождествлении
комет с различными системами элементов.
Необходимым условием тождественности двух комет является
равенство значений постоянной Якоби С для различных систем элементов
[22]. В литературе это утверждение получило название критерия Тиссерана.
Аналитически критерий Тисссрана выражается равенством, вытекающим из
интеграла Якоби
+ nrVfli 0-*?) "**',= =i+TVflz(!-?DC0S''2.
(5.2.43)
где п' - среднее движение возмущающей планеты, k - постоянная Гаусса.
Рис. 73. Прямоугольные барицентрические координаты точки Р с нулевой
массой. G -центр масс точек me и О--середина
§ 2.07. Уравнения ограниченной круговой задачи в эллипсоидальных
переменных
Если ввести вместо прямоугольных барицентрических координат х, у, г точки
Р (см. рис. 73) эллипсоидальные координаты и, v, w по формулам а, - а0 -
х =
с ch и cos v,
г = с sh u sin v sin w,
у = с sh и sin v cos w,
aa -f- Qi
(5.2.44)
§ 2.0?]
ГЛ. 2. ОГРАНИЧЕННАЯ КРУГОВАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЁЛ
543
то тогда уравнения (5.2.01) принимают вид
(ch2 и - cos2 и) м + y sh 2м ¦ (й2 - г)2) -
- у sh 2м sin2 v ¦ w2 + sin 2v • iiv +
+ 2n (ch2 м - cos2 v) cos w ¦ v - n sh2 и sin 2v sin w • w = rf (ai - a0)
2c sh м cos v + -у- sh 2м (1 - sin2 v sin2 w) + + -jj- Tj sh м cos v -
^2 sh 2u sin2 v,
(ch2 м - cos2 v) v -к sin 2v (м2 - v2) -
- y sh2 " sin 2v • w2 + sh 2u ¦ ui) -
- 2n (ch2 и - cos2 d) cos w ¦ й + n sh 2u sin2 v sin w • w = (a' ~
q°^ chMsine - -^-sin2a(l + sh2Msin2a>) -
2 с
-^-'F.chMsina - -2^r4r2sh2usin2a1
sh u sin v cos w ¦ w + 2 ch и sin v cos w • iiw -\-
-f 2 sh и cos v cos w • iiw -f n sh u cos у sin 2w • й -
- n ch и sin v sin 2w • v = n2 sh и sin v sin w cos2 w,
w ______ m0[ 1 - ch и cos o) __________ mi (1 + ch и cos v)
l (ch и - cos t>)3 (r^ 11 pne T|^3 *
Wp
+
(ch u + cos и)3 mi
(5.2.45)
2 (chu - cos и)3 ^ (chu + coso)3
Каноническая форма уравнений (5.2.45) запишется в виде
du дН
dt
dv
дРи ' дН
dt dpv ' dw дН dt дрш '
dpa ______ дН
dt
ди '
dpv ____ дН
~ИГ~~ dv '
dpw _______дН
dt dw
(5.2.46)
544
Ч. V. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
[§ 2.07
В уравнениях (5.2.46) функция Гамильтона Н дается равенством
Я (и, v, w, ри, pv, pw) =
< I
Pu+Pv
2с2 (ch2 и-cos2 о) 2с2 sh2 sin2 о
+
, (nc2 sin 2v - 21 ch ti sin p) cos w • pa , 2c2 (ch2 и - cos2 o)
(nc2 sh 2и - 2/ sh и cos v) cos w • pv 2c2 (ch2 и - cos2 v)
+
, (I - nc2 eh и cos t>) sh и sin о sin w • pw , c2 sh2 u sin2 v
+
cos2 w
[(rtc2 sin 2v - 21 ch и sin u)J +
8c2 (ch2 и - cos2 v + (nc2 sh 2h - 21 sh и cos u)2] +
+ П? - (sh2 и + cos2 v - sh2 и sin2 v sin2 w) ¦
1 =
f [(w0 + И|) ch и + (mD - mi) cos ti] с (ch2 u - cos2 v) nc(ai - a0)
(5.2.47)
Интеграл энергии:
H (и, v, w, ри, pv, pw) = fi. (5.2.48)
Для плоского варианта ограниченной круговой задачи трех тел имеем
следующие уравнения.
Уравнения движения в эллиптических переменных и, v:
(ch2 и - cos2 о) й + ~ sh 2и (й2 - и2) + sin 2v ¦ iiv +
+ 2 п (ch2 и - cos2 v)v =
_________n2 (oi - a0)
2c
sh и cos v +
n2 sh 2u
f sh и cos v Г m0 (1 - ch и cos v) mi (I + ch и cos ti)
(ch и - cos o)3
(ch и + cos ti)3
b
f sh 2 и sin2 о
Г________________________mg____________________________________________._
m, ~[
2c3 L (ch и - cos ti)3 (ch и + cos o)3 J '
(ch2 u - cos2 v) v
sin 2v
(й2 - Й2) + sh 2u • iiv -
_ . , , , . . n2(a, - a0) , . n2 sin 2v
-2n (ch2 и - cos2 v)u = ------------------------ch и sin v -
2 с
f ch и sin о f ffi0 (1 - ch и cos o) c3 L (chu - cos o)3
mi (1 -f ch и cos ti) j____________
f sin 2v ¦ sh2 и
Г rnD L(ch" - cc
(ch и + cos o)3 m,
2c3 L(ch" - cos v)3
(chu + cos v)!
]•
(5.2.49)
2.01] ГЛ. 2. ОГРАНИЧЕННАЯ КРУГОВАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
Канонические уравнения:
du дИ dpu _ дИ
dt dPu ' dt du
dv дИ dpv дИ
dt dpv dt dv
Функция Гамильтона: Н {и, v, ри, pv) =
"2 г "2
Ри "Г Pv
+
(пс2 sin 2о - 21 ch и sin v)pu
2с2 (ch2 и - cos2 v) 1 2c2 (ch2 и - cos2 u)
, (nc2 sh 2и - 21 sh и cos v) pv ,______________________1____________
2c2 (ch2 и - cos2 v) ' 8c2 (ch2 и - cos2 v)
+
X
X [("c2 sin 2v-21 ch и sin v)2 + (nc2 sh 2u-2l sh и cos o)2] + . ra;c2
(sh2 и + cos2 v) f [(m0 + m,) ch и + (ma - Wi) cos t>]
с (ch2 и - cos2 u)
nc (fl! - a0) ,
2
Интеграл энергии:
545
(5.2.50)
(5.2.51)
(5.2.52)
H(u, v, pu, pv) = h.
