Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
точно совпадает с х2-Распределением с двумя степенями свободы, в то время как для негауссовских процессов при больших N это со-
6.3. Спектральные оценки
289
впадение распределений имеет приближенный характер. Для непрерывного времени результаты формулируются точно так же, за исключением того, что они относятся к CZz(f)/o2z .
6.3.4. Сглаживание спектральных оценок
Способ сглаживания Бартлетта. Один прием, который можно использовать для получения спектральных оценок, имеющих дисперсию, меньшую, чем у СZz (/), был предложен Бартлеттом [5]. Предположим, что вместо вычисления Czz(f) по реализации белого шума длины /V = 400, как это делалось в разд. 6.1.2, эта реализация разбивается на k = 8 рядов длины AVA = 50 и выборочный спектр C^2 (/)> i=l. 2, ..., 8, вычисляется для каждого ряда длины 50. Среднее значение этих восьми выборочных спектров на частоте f равно
8
с„(Я = -г2с« (Л --2Т</<-2Т- (6-зл8>
і=і
Оно называется выборочной сглаженной спектральной оценкой на частоте /.
На рис. 6.10 построены графики Czz(f) и функции Czz(f), вычисленной по всем 400 членам, для частот f = 0; 0,02; ...; 0,5 гц. Отметим, ЧТО Czz(f) МеНЯеТСЯ более ПЛаВНО И ПрОХОДИТ ближе К TZZ (!)¦
В табл. 6.4 показаны средние значения, дисперсии и среднеквадратичные ошибки Czz(f) и Czz(f) при усреднении по частоте. Согласно (6.3.10), дисперсия каждой (f) равна о^. Так как Zt — белый
шум, то отдельные ряды разбиения независимы и, следовательно, дисперсия Czz(f) равна о^/8. Отношение двух наблюденных дисперсий из табл. 6.4 (0,139/0,826= 1/5,94) незначимо отличается от ожидаемого значения 1/8. Следовательно, с помощью усреднения,
Таблица 6.4
Моменты несглаженной и сглаженной выборочных спектральных оценок (усреднение проводилось по частоте)
Среднее Средне-
значение Дисперсия квадратичная
ошибка
Czz (/) 0,95 0,826 0,828
С ZZ if) 0,94 0,139 0,143
10 Заказ № 1210
290
Гл. 6. Спектр
или сглаживания, величин, относящихся к отдельным частям разбиения исходного ряда, дисперсию спектральной оценки можно уменьшить в нужное число раз. В предельном случае можно было бы использовать разбиение исходного ряда на отдельные ряды из двух членов, и при этом дисперсия уменьшилась бы до 2okzIN.
Чтобы понять, почему не имеет смысла так поступать, необходимо
внимательно рассмотреть процедуру сглаживания и вывести моменты сглаженных оценок.
Корреляционные и спектральные окна. Из (6.2.1) математическое ожидание оценки, соответствующей выборочному спектру, равно
E [Схх СО] = j (l - 1T-) Тхх (и) e~i2*fu da. (6.3.19)
6.3. Спектральные оценки
291
Оно представляет собой преобразование Фурье от произведения функции \хх (и) и функции
7 (6.3.20)
|«|>7\
Отсюда, используя теорему о свертке (2.4.3), получаем
р° / Sin TzTg \2
E [Схх (/)] = j T ( nTg J Тхх {f - g) dg, (6.3.21)
— СО
поскольку преобразование Фурье функции w (и) равно
^(Л = Т[^Щ. (6.3.22)
Равенство (6.3.21) показывает, что математическое ожидание оценки Cxx(f) соответствует как бы просматриванию теоретического спектра Гхх (f) через спектральное окно W {f). В терминологии гл.2 Е[Схх(})] соответствует пропусканию теоретического спектра Гхх (/) через фильтр с «откликом на единичный импульс» W (f). Названия спектральное окно для W (f) и корреляционное окно для w (и) были введены Блэкманом и Тьюки [6].
Поскольку W (/) в (6.3.22) при больших T ведет себя подобно б-функции, из (6.3.21) и (2.2.5) следует, что
lim E[Cxx(f)]=Txx(f),
T со
т. е. Cxx(f) — асимптотически несмещенная оценка TXx(f). Однако для записи конечной длины из (6.3.21) видно, что Cxx(f) является смещенной оценкой Гхх (/) со смещением
B(J) = E[Cxx(J)] -Vxx(f).
Для белого шума ГХх (f) = A<J2Z, и равенство (6.3.21) сводится к
E[CXx(f)]=^z
для всех Т. Следовательно, для белого шума оценка, соответствующая выборочному спектру, является несмещенной для всех Т.
Спектральное окно W (/), грубо говоря, действует при сглаживании как узкая щель, порядок ширины которой равен І/Т, так что для больших T естественно считать Гхх (/) приблизительно константой внутри этой щели. Поэтому (6.3.21) сводится к
OO
E[Cxx(f)]~Txx(f) J 7-(-?^)2 dg = ГXX(Л.
— OO
Таким образом, для достаточно больших T смещение неслаженного выборочного спектра будет малым.
10*
292
Гл. 6. Спектр
Спектральное окно Бартлетта. Рассмотрим теперь математическое ожидание случайной оценки CXx(f), используемой в способе сглаживания Бартлетта. При разбиении исходного ряда на k рядов, каждый из которых имеет длину М, из (6.1.9) получаем
M
Схх (Л= J C^x(U) e-n*fa du. -м
Отсюда сглаженная спектральная оценка равна
м
Схх (/)=4-2с** (/) = і с™ (") е~*"" du> (6-3-23)
где
* С Ш—и \
схх (я) = 4- 2 \ж I X(t)X(t + и) dt], и > 0, (6.3.24)
а для и<0 эта функция определяется аналогично (5.3.9). Математическое ожидание схх(и) в таком случае равно
?['**(«)] =ТХХ(«) (l --?1)
и
E[Cxx(Z)}= f (1-^)т„(«)^Л-
= W(/-*)M(«ffi) dg. (6.3.25)
— OO
Следовательно, разделение записи длины T на k частей длины M = = T/k каждая и построение сглаженной спектральной оценки (6.3.23) эквивалентно сглаживанию выборочного спектра с помощью окна
