Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Если Z(I) — белый шум со спектральной плотностью rZz(/) = a|
и ковариационной функцией yzz(u) = a| б(ы), то X(t) является линейным процессом со спектральной плотностью
^(/) = 41^(/)12- -оо^/^сх>. (6.2.16)
— оо ^ / ^ оо.
(6.2.15)
6.2. Спектр
275
Для дискретного времени соотношение, соответствующее (6.2.15), имеет вид
ГXX (/) = IИ (/) I2 T22 (/), - -^- < / < ' (6.2.17)
где ЯСО = S*^"-
Если вход является чисто случайным процессом с дисперсией a2z,
то выход представляет собой линейный процесс со спектральной плотностью
IYx (Z) = AeI IH (/)12, _-^-^/<_^_. (6.2.18)
Из (6.2.15) или (6.2.18) видно, что если есть источник белого шума и подходящий переменный аналоговый (или цифровой) фильтр, то можно получить случайный процесс с любым заданным спектром. В следующем разделе мы приведем некоторые примеры разнообразных спектров, которые можно получить с помощью линейной фильтрации белого шума.
6.2.5. Спектры процессов авторегрессии и скользящего среднего
Непрерывный процесс авторегрессии первого порядка. Рассмотрим непрерывный процесс авторегрессии первого порядка
T ¦^p-+ {X {t)-v) = Z(tl
где Z(t) — белый шум. Эта линейная система имеет отклик на единичный импульс
(4- е-"11', 0<и<оо,
А («) = і
(О, и<0,
и частотную характеристику
И № = 1 + j2nfT ¦
Отсюда, используя (6.2.16), получаем спектральную плотность процесса X(t):
IYxCO= 1 + (2^/7-)2 » -°°</<^. (6.2.19)
276
Гл. 6. Спектр
График функции (6.2.19) изображен на рис. 2.3, а. Из него видно, что большая часть мощности, или дисперсии, сосредоточена на низких частотах.
Дискретный процесс авторегрессии первого порядка. Для дискретного времени процесс авторегрессии первого порядка имеет вид
Xt— P = Ctx (X1-1 -р.) + Z,.
В этом случае
AA = a?, k = 0, 1, . . ., оо,
и
Н = 1 _ aie-J2*/A ' 2Д~ ^ f < ~2"Г •
Отсюда, используя (6.2.18), находим спектральную плотность процесса Xc
Спектр (6.2.20) изображен на рис. 6.4 и 6.5 для случаев осі = = +0,9 и ai = —0,9 соответственно, причем в обоих случаях A = I и а2 = 1. Как отмечалось в разд. 6.2.1, при положительном осі большая часть мощности спектра сосредоточена на низких частотах, а для отрицательных осі— на высоких частотах. Заметим из (6.2.20), что rXx(f) при осі > 0 равна Гхх( 1 /2А — f) при а± < 0.
Непрерывный процесс авторегрессии второго порядка. Рассмотрим непрерывный процесс авторегрессии второго порядка
02 ~Ж~ + а>4г~+ a0(X(t) — |*) = Z(0.
В этом случае частотная характеристика равна <¦
1
H(f)
и, следовательно, спектральная плотность процесса равна
Тхх (/) — (Ло _ a24„2/2)2 + OZa1)2 • (6.2.21)
Выражение (6.2.21) может давать как низкочастотные спектры (?i или cl2 велико), так и спектры с явно выраженным пиком (если характеристическое уравнение а2рг + аїр + а2 = 0 имеет комплексные корни).
6.2. Спектр
277
Дискретный процесс авторегрессии второго порядка. Дискретный процесс авторегрессии второго порядка (5.2.31), а именно
Xt — \>. = a.1(Xt_1 — (а) + M^7_2 — rO + Zp
имеет частотную характеристику
И (f)= j _ ае-Я*/ь _ ae-iWL ' 2Д~^ ^ "2T'
и,следовательно, спектральную плотность
До2,
Г*х(/) =
1 + а2 -(- а2 — 2«i1 (1 — a ) COS 2я/Д — 2а2 COS 4к/Д '
-4~</<-2Х- (6-2-22>
Для некоторых значений параметров cci, сс2 выражение (6.2.22) представляет низкочастотный либо высокочастотный спектр, подобно дискретному процессу первого порядка. Но кроме таких спектров можно получить и спектры, имеющие пик, либо, наоборот, корытообразную впадину на некоторой частоте fo внутри интервала частот. Это происходит в случае, если |ai(l — сс2) I <4a2|. Частота fo, на которой получается пик либо впадина, определяется из выражения
cos2*/0A = - а'(14-*2) .
Например, временной ряд, изображенный на рис. 6.6, получен с помощью процесса авторегрессии второго порядка с параметрами ai=l, CC2 = —0,5. Спектр этого процесса имеет пик в точке fo = = 0,125/А гц.
Четыре типа спектров, которые можно получить с помощью процесса авторегрессии второго порядка, перечислены на рис. 6.7. Интересная особенность, выявленная с помощью этого рисунка, заключается в том, что область a2 + 4a2<0 (в этой области корреляционная функция является затухающей синусоидой) частично перекрывается с областью I (Xi(I — сс2) | ^4 | сс21, где спектр не имеет пиков внутри интервала частот (на рис. 6.7 последняя область заштрихована). Для высокочастотного спектра это не является неожиданным, так как даже процесс авторегрессии первого порядка при cci < 0 имеет осциллирующую корреляционную функцию, хотя его спектр и не имеет внутренних пиков. Однако и для низкочастотного спектра корреляционная функция может осциллировать, и при этом не будет ярко выраженных внутренних пиков. Обычно считают, что осцилляция корреляционной функции сопровождается пиком в спектре, но этот пример показывает, что для этого амплитуда затухающих осцилляции корреляционной функции должна быть достаточно большой.
•278
Гл. 6. Спектр
Общие процессы авторегрессии — скользящего среднего. Общий непрерывный процесс авторегрессии — скользящего среднего (5.2.21) имеет вид
