Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
VarJC*^(/)l =-^1™2 (и) du = ЦТ (6.4.14)
1XX
304
Г л. 6. Спектр
равна относительному уменьшению дисперсии, вызванному сглаживанием, т. е. использованием сглаженной спектральной оценки вместо оценки, соответствующей выборочному спектру. Значения отношений (6.4.14), соответствующих спектральным окнам из табл. 6.5, приведены в третьем столбце табл. 6.6. Видно, что все они имеют вид с (MIT), где с—некоторая константа, зависящая от окна.
Таблица 6.6
Свойства спектральных окон
Название окна
Формула окна
О) *^ X д,
X '§ OJ (J В а 1 S О а. Число степеней свободы Нормиров ная шириї полосы частот 6,
M T 0,5
2T M
M 0,667 ~ 6 M 1,5
2,667 -L- 1,333
M 0,539 Цг T 3-71ж 1,86
Прямоугольное Бартлетта Тьюки Парзена
2Л4
M
sln2rc/M
2я/М sin izfM ^2
I sin д/Af \2
M
Sln2i:/Af
X-
1
2ic/Af ~ 1 - (2/Лф
3 /я1п(./А</2)у
4 і Tc/Af/2 j
Предположим, например, что точка отсечения M равна 0,17\ Тогда для окна Бартлетта //Г = 2/з (0,1) = 0,067. Следовательно, беря точку отсечения на расстоянии 10% длины записи, мы снизим дисперсию сглаженной спектральной оценки до 6,7% от дисперсии оценки, соответствующей выборочному спектру. Соответствующие величины для окон Тьюки и Парзена равны 7,5% и 5,4% соответственно. Следовательно, при фиксированном M из трех рассматриваемых окон наименьшую дисперсию дает окно Парзена. Это объясняется тем, что, как видно из рис. 6.13, окно Парзена является более широким и плоским, чем два остальных. В результате оно приводит к большим смещениям. Поэтому сравнения окон, сделанные только с учетом дисперсии, могут ввести в заблуждение, как мы увидим позднее.
6.4.2. ^-приближение к распределению сглаженных спектральных оценок
В разд. 6.3.5 было показано, что оценка, соответствующая выборочному спектру Cxx(f), такова, что величина 2Cxx(f)Txx(f) имеет приблизительно х2-распределение с двумя степенями свободы. В этом разделе мы покажем, что соответствующий результат
6.4. Дальнейшие свойства сглаженных спектральных оценок
305
для сглаженной спектральной оценки состоит в том, что величина
vCхх (f)/rXx U) распределена приближенно как х2 с v степенями свободы, где v>2. Это означает, что сглаженные спектральные оценки будут иметь гораздо больше степеней свободы, чем оценка, соответствующая выборочному спектру, что приводит к уменьшению их дисперсии.
Оценка Схх (f) есть преобразование Фурье оценки ковариационной функции Схх (и), причем Схх (и) = 0 вне интервала —T ^ и ^ =? Т. Если внутри интервала —T :? и =? T функция сХх (и) представляется некоторой периодической функцией сР.х(и), такой, что
ср (ы) = сР (и + 2Т), то функция d> (и) представляется в виде
XX XX лл
ряда Фурье
і = — оо
Поскольку корреляционное окно w(u)=0 при \и\~^М, функции cxx(u) = cxx(u)w(u) и схх(и) = cxx(u)w(u) совпадают при всех и, так что сглаженная спектральная оценка имеет два эквивалентных представления
Cxx(J)= j W(/-g)Cxx(g)dg
Схх (/) = 2 W(f~4r) С*х [4т
Но
СХХ(Ч2Т) (j_
2T хх \2Т I '
и, следовательно,
Схх (/) = 4т l J00 с™ (ж) w (/ " 4т
Таким образом, сглаженная спектральная оценка является взвешенной суммой случайных величин СХх(1/2Т) на субгармонических частотах 1/2Т. Эти случайные величины распределены как %2 t двумя степенями свободы. Следовательно, пользуясь результатами разд. 3.3.5, распределение величины CXx(f) можно приблизить с помощью распределения величины ах2, где а — константа, и
X2 —случайная величина, имеющая х2_распределение с v степенями
306
Гл. 6. Спектр
свободы. Из (3.3.14) и (3.3.15) можно вычислить константы а и v:
2{? \Cvy(f)}\2 1 1 *х V , 6.4.15)
Var [C^x(Z)]
а~_Ур., (6.4.16)
Предполагая, что истинный спектр изменяется плавно по сравнению со спектральным окном, получаем из (6.3.36)
E\Cxx(f)]^Vxx(f)
и из (6.4.13)
9 OO
Var [Схх (/)] « j та2 (и)
Поэтому, подставляя эти выражения в( 6.4.15) и (6.4.16), имеем
27" 27"
v = —---= —, (6.4.17)
j w2 (и)du
¦—DO
„ [хх (Л
(6.4.18)
Следовательно, случайная величина vCxx(f)/rXx(f) имеет х2"Рас" пределение с V степенями свободы, где V задается равенством (6.4.17). Таким образом, число степеней свободы сглаженной спектральной оценки зависит от окна w(u).
В столбце 4 табл. 6.6 приведены степени свободы, соответствующие спектральным окнам, указанным в столбце 2. Например, если используется окно Бартлетта с точкой отсечения M на расстоянии одной десятой длины записи (т. е. М/Т = 0Л), то число степеней свободы оценки равно 3/0,1 = 30. Чем больше число степеней свободы, тем надежнее оценка в том смысле, что ее дисперсия меньше. Однако, как указывалось выше, должен выбираться некоторый компромисс между числом степеней свободы и смещением.
Из табл. 6.6 видно, что широкое окно, такое, как окно Парзена Wp (/), дает меньшую дисперсию и, следовательно, большее число степеней свободы, чем более узкое окно, такое, как окно Бартлетта Weif). Это находится в согласии со сделанным выше замечанием о том, что чем шире окно, тем меньше дисперсия.
6.4. Дальнейшие свойства сглаженных спектральных оценок
