Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Пользуясь этими результатами, можно объяснить флуктуирующее поведение выборочного спектра на рис. 6.1. В разд. 6.2.3 было показано, что спектр чисто случайного процесса равен константе
rzz(/) = a|A, - 4г</<4--Используя (3.3.6) и только что доказанные утверждения, получаем
2Czz(fk)
До*,
-=2,
т. е.
Следовательно, для гармонических частот оценка, соответствующая выборочному спектру, является несмещенной в случае, если шум белый. Это объясняет близость средних значений в табл. 6.1 к их теоретическим значениям.
282
Г л. 6. Спектр
Аналогично, используя (3.3.6), получаем Var [ 2CzA/k) 1=4,
L А4 J
г. е.
Var [Czz{fk)\ =a4zA2 = r|z(/ft). (6.3.10)
Равенства (6.3.10) показывают, что по крайней мере для гармонических частот дисперсия этой оценки равна константе, независящей от объема выборки. Это объясняет тот факт, что выборочные оценки дисперсии случайной величины CZz(fh) не уменьшаются с увеличением объема выборки, как видно из табл. 6.1. Важно отметить, что даже для негауссовского процесса Z1 случайные величины A(f) и B(f) будут приближенно гауссовскими в силу центральной предельной теоремы. Поэтому величина CZz(f) будет иметь распределение, близкое к х2-распределению с двумя степенями свободы, независимо от того, какое распределение у процесса Zt.
Дисперсионный анализ. Важность полученных выше результатов легче оценить, если рассмотреть разложение полной суммы квадратов случайных величин Zt. По теорема Парсеваля (6.1.3) имеем
2 а- 2 Щ
t = —п k = — п
Используя то, что Czz(fk) = Czz(—fk), получаем
IT —^ 1— T"2
Czz(0) + 2 2 Czz(fk) + Czz(fn)
(6.3.11)
Так как Z;/oz — независимые нормальные величины с нулевыми средними значениями и единичными стандартными отклонениями, то стоящая в левой части равенства (6.3.11) случайная величина имеет ^-распределение с N степенями свободы. Доказанные выше утверждения показывают в таком случае, что эта величина представляется в виде суммы двух х2-величин с одной степенью свободы или (п—1) х2-величин с двумя степенями свободы. Таким образом, полное число степеней свободы раскладывается на следующие слагаемые:
д/ = 2я = 1 +2(я- 1)+ 1.
Для нечетных N член с одной степенью свободы, соответствующий k = —п, исчезает из (6.3.11). Это разложение представляет собой частный случай метода, называемого в статистике дисперсионным
6.3. Спектральные оценки
283
анализом. Если E[Zt)=^O, то проведенный выше анализ справедлив, но разложение (6.3.11) в этом случае удобнее записывать в виде
-V 1 (zt- г?
UZ t=-n
2 2 Czz(fk) + Czz(f„)
(6.3.12)
где Z—среднее арифметическое значение случайных величин Zt.
6.3.2. Критерий для проверки гипотезы о том, что шум белый
Необходимость критерия. На практике часто возникают ситуации, когда требуется проверить гипотезу о том, что наблюдаемый временной ряд является реализацией белого шума. Пример такой ситуации приведен в разд. 5.3.5, где критерий для проверки того, что шум белый, был применен к случайным гауссовским числам, полученным с помощью вычислительной машины. Другим примером служит проверка подобранной модели, например процесса авторегрессии (5.2.39). Модель можно считать адекватной, если остаточные ошибки (между подобранной моделью и данными) образуют белый шум.
Приведенный в разд. 5.3.5 критерий для проверки того, что шум белый, полезен тогда, когда подозревают наличие «локальных корреляций», т. е. когда есть подозрение, что соседние точки временного ряда коррелированы. Иногда требуется обнаружить отклонения от белого шума, вызванные периодическими эффектами. Так, например, после подбора модели для экономического временного ряда, содержащего сезонные вариации, несоответствие модели могло бы выразиться в периодичности остаточных ошибок. В таком случае более подходящим является частотный критерий, основанный на выборочном спектре. Один такой критерий приведен ниже; его надо рассматривать как дополнение к критерию разд. 5.3.5, основанному на корреляционной функции.
Критерий. Равенство (6.2.14) ного белого шума имеет вид
(Z) = AaI,
Отсюда спектральная функция /
/^(Z)= У?z-Ag) dg -)
линейно зависит от частоты.
показывает, что спектр дискрет-
_ JL</<J_.
2д ^ 2д
= 2До|/, 0</<4--,
284
Гл. 6. Спектр
Предположим, что выборочный спектр Czz(f) сосчитан для гармонических частот fh = k/NA, k = 0, 1, ..., N/2. Рассмотрим тогда оценки I(fk) спектральной функции
k
/(/») = ж2 Czz(fi)- (6.3.13)
/ = і
Заметим, что CZz(0) = 0, если вычитается среднее значение. Так как ?[Czz(M] = rzz(M = 2A0z, то
E [I (/*)] = 2Да|/А = 2Да| ж
и, следовательно, I(fh) является несмещенной оценкой Izzifh). На практике удобнее нормировать I(fh), разделив ее на о2, . В этом
случае /(1/2A) = 1. Поскольку a2z неизвестна в практических ситуациях, ее следует заменить на оценку S2Z, так что в окончательном
виде оценка нормированной спектральной функции .имеет вид I(fk)/S2z . Таким образом, соответствующая выборочная оценка, сосчитанная по временному ряду, равна
і(/») _ і у г (f)
Если построить график этой выборочной оценки, беря вкачестваир-гументов точки 2Afft, то точки графика должны лежать близко к отрезку, соединяющему точки (0,0) и (1, 1). Так как I(fh) представляет собой сумму случайных величин с одинаковым распределением, то можно применить критерий Колмогорова — Смирнова [4], чтобы узнать, являются ли отклонения выборочной оценки нормированной спектральной функции от прямой линии значимыми (обычно этот критерий применяют для проверки значимости отклонений выборочной функции распределения от теоретической).
