Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
DO
X(t)=§ h(u)Z(t-u)du, -оо<г<оо. (6.4.1)
о
Согласно (6.2.16), спектр этого процесса можно записать в виде
Гхх (/) = о! I И (/) I2, - оо< / < оо. (6.4.2)
Для конечного отрезка процесса X (t) (6.4.1) можно приближенно записать следующим образом:
OO
X (t) = j А (к) Z (t- и) du да Xт (t), -Г/2 < t < Г/2, (6.4.3)
о
где
оо
Xx (t)--=\ h (и) Z1 (t - а) du, -Г/2 < Г/2. (6.4.4)
о
В (6.4.4) Zt(V) обозначает конечный отрезок процесса Z (t). На интервале —Г/2 t =? Г/2 два процесса X (t) и XT(t) будут идентичны, за исключением некоторого участка вблизи начала интервала, при условии, что отклик на единичный импульс h (и) убывает до нуля за время, малое по сравнению с Г. Мы предположим, что этим «начальным эффектом» можно пренебречь.
В таком случае оценку, соответствующую выборочному спектру
г/2
Схх (/) = 4г
j X(t)e-i2*udt
-Т/2
6.4. Дальнейшие свойства сглаженных спектральных оценок
301
можно приближенно записать в виде
Схх (Л*
T
7/2 оо
г/2
J xT(t)
е-™' dt
-Т/2
j j h(u) (/ - и) Л* <Гу'2л/' Л
-г/2 О
= !"(/) I2Qz(Z)- (6.4.5)
Таким образом, оценка, соответствующая выборочному спектру, для процесса J (O приближенно равна соответствующей оценке для белого шума, умноженной на квадрат модуля частотной характеристики фильтра. Поскольку 2CZz (f)/o2z распределена приближенно как X2 с двумя степенями свободы при любых /, то из (6.4.5) следует, что величина
2СХХ(/)
41"(/)12
2Схх(/>
(/)
(6.4.6)
H (Z) I2 ol = Г
XX
(6.4.7)
также распределена приближенно как %2 с двумя степенями свободы. Теперь можно использовать результаты разд. 6.3.3 для спектральных оценок белого шума. Так как E[CZz(f)] = o2z, то из (6.3.16) получаем
E[CxAf)] Аналогично,так как
Cov [Схх (Z1), Схх (Z2)] = Cov [ IH (Z1) р Czz (Z,), IИ (Z2) I2 Czz (Z2)] =
= I и (Zi) I21 н (Л) I2 Cov [Czz (Z1), czz (Z2)],
то из (6.3.17) следует, что CoV[Cxx(Z1), CxAf2)] ^
sin ^7-(/, +/2) \2 «7(/, + /2)
+
Sin It Г (/i -/2) \2
"7(Zi-Z2)
(6.4.8)
где мы пренебрегли членом, содержащим Ki- Так как Гхх (/) = = o2z I Я (/) 12, то на двух разных частотах /і и /2 ковариация оценок, соответствующих выборочному спектру, для линейного процесса равна
cov [Схх (Z1), схх (Z2)] гхх (Z1) тхх (Z2)
4
sin TtHZi + /2) \2 *П/і + Л)
SInTtT-(Zi-Z2) ^
*т (/. -/2)
(6.4.9)
302
Гл. 6. Спектр
Формула (6.4.9) показывает, что для любого гауссовского случайного процесса X (t)
COV[CxM), схх(/2)]«о(JL)1 АФ/2,
Var [Cxx(f)]^Txx(f).
Таким образом, мы получили обобщение результатов разд. 6.3.3, которые были получены только для белого шума. Заметим, что для больших T выражение в квадратных скобках в (6.4.9) ведет себя подобно б-функции с множителем 1/7\ Кроме того, ковариация в точности равна нулю, когда частоты (fi + f2) и (fi — f2) кратны величине \/Т.
Ковариация сглаженных спектральных оценок. Из (6.3.30) сглаженную спектральную оценку CXx (f) для процесса X (t) можно записать в виде
OO
С хх if) = j Cxx(g)W{f-g)dg,
— DO
а, следовательно, ковариация CXx (fi) и Схх (U) равна Cov [Cxx(Z1), Cxx(Z2)} =
OO со
= }' \W (/, -g)W (Z2 - It) Cov [Cxx (g), Cxx (A)] dg dh.
— OO —OO
Заменяя Cov [С** (g), CXx(h)\ на (6.4.9) и интегрируя no h, получаем
Cov [Cxx(Z1), Cxx(Z2)}^
OO
« ~ j T2Xx (g) W (Z1 -g)[W(Z2 + g)+W(Z2 - g)[ dg, (6.4.10)
при условии, что T настолько велико, что члены sin2 nfTI(nfT)2 ведут себя как б-функции. Равенство (6.4.10) является окончательным результатом, но можно еще вывести полезное приближение, предположив, что Txx(f) изменяется плавно на ширине спектраль-. ного окна W(f). При этом предположении (6.4.10) переходит в
Cov [Схх (Z1), Схх (Zi)] «*
Г2
гхх (/) T
j W(Zl-g)[W(Z2 + g)+W(f2-g)[dg, (6.4.11) где f, / /2.
6.4. Дальнейшие свойства сглаженных спектральных оценок
303
Равенство (6.4.11) показывает, что ковариация сглаженных спектральных оценок пропорциональна площади перекрытия спектральных окон с центрами в fi и U- Следовательно, если спектральные окна почти не перекрываются, ковариация будет очень малой. Некоторые численные значения для ковариаций сглаженных спектральных оценок при использовании различных окон будут даны в разд. 7.2.
Дисперсия сглаженных спектральных оценок. Если f] = f2=/, то (6.4.10) сводится к
о „ OO
Г (f) Г
Var [Схх (/)] да -Ц^- j (g) dg, (6.4.12)
—со
OO
где мы пренебрегли членом \w(g)W(g + 2f)dg, малым по сравнению
—со
OO
с jwz (g) dg. Воспользовавшись теоремой Парсеваля, равенство
—со
(6.4.12) можно переписать в эквивалентном виде
Var [Схх (/)] да Г**(Л j w2 (и) du = Т\х (/) -L . (6.4.13)
— OO
Например, для окна Бартлетта wB(u) из табл. 6.5 имеем
-м \
и, следовательно,
Var [СХХ(Л]~^Ц^(^М).
Это показывает, что дисперсию сглаженной спектральной оценки можно уменьшить, выбрав точку отсечения M корреляционного окна малой. Но, как указывалось в разд. 6.3.5, при уменьшении M увеличивается смещение, искажающее теоретический спектр, так как спектральное окно при этом расширяется. В таком случае, как показывает формула (6.4.10), спектральные оценки на соседних частотах будут сильнее коррелированы из-за более полного перекрытия спектральных окон. Поэтому точный выбор M является очень важным вопросом. Этот вопрос обсуждается в гл. 7. Заметим, что поскольку Var [Cxxif)]^ Fxx(f), то величина
