Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Дженкинс Г. -> "Спектральный анализ и его приложения Том 1" -> 80

Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.

Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения Том 1 — М.: Мир, 1971. — 317 c.
Скачать (прямая ссылка): spekralanalizt11971.djvu
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 94 >> Следующая

Замечания относительно определений спектра, используемых в технических работах. В разд. 6.1.1 мы уже сделали несколько критических замечаний по поводу определения спектральной плотности в виде
Г(/)=lim Cxx(f),
T-»- оо
которое обычно приводится в учебниках по электротехнике (см., например, [2, 3]). Возражение против такого определения состоит в том, что если x(t) —реализация стационарного случайного процесса, то соответствующая случайная величина CXx(f) не сходится ни в каком статистическом смысле к предельному значению.
Дальнейшая путаница проистекает из-за неправильного использования фундаментального равенства (6.1.9), доказанного выше. Из того, что выборочная ковариационная функция схх{и) сходится при 7"->оо во вполне определенном статистическом смысле к ухх(и), делается неправильный вывод, что допустима перестановка интегрирования и перехода к пределу
T оо
lim CxAf)= j Hm CxAu)е-»"иdu= j b(«)^rfa = rH(/).
г-*оо _j- Г-*оо _0O
В разд. 5.3.3 было показано, что среднеквадратичная ошибка оценки ковариационной функции схх(и) имеет порядок \/Т, и поэтому ее распределение концентрируется все теснее около ухх(и) при Т-*-°о. Таким образом, схх(и) является состоятельной оценкой ухх(и). Другими словами, средняя по времени величина Схх(и) сходится к средней по ансамблю величине ухх(и). Это
270
Г л. 6. Спектр
свойство обычно называют эргодическим. Для его выполнения требуется, чтобы уХх(и) убывала достаточно быстро.
Однако из того, что эргодическое свойство имеет место для схх(и), никоим образом не следует, что оно справедливо для его преобразования Фурье Cxx(f). В самом деле, если имеется состоятельная оценка статистического параметра, то ее преобразование Фурье обычно не является состоятельной оценкой для преобразования Фурье этого параметра*). Иначе говоря, Cxx(f) являетея. примером выборочной функции, для которой эргодическое свойство не имеет места.
Интуиция подсказывает, что в такой ситуации интересно посмотреть, что происходит с функцией схх(и) при фиксированном запаздывании «, когда длина записи T возрастает. В этом случае Схх(и) собирает в себе все больше и больше информации в виде произведений x(t)x(t+u), и, следовательно, информация, содержащаяся в схх(и) относительно ухх(и), неограниченно возрастает при T-*- оо. Позднее мы увидим, что информация, содержащаяся в Cxx(f) относительно ГХх(f), рассеяна в полосе частот f±\/T. При увеличении T полная информация, содержащаяся в Cxx(f), распределяется по полосам частот, число которых увеличивается, а ширина стремится к нулю. Точный результат состоит в том, что при увеличении T можно оценивать среднюю мощность в полосе частот, ширина которой безгранично уменьшается; однако эффективность выборочной оценки мощности в этой сужающейся полосе не улучшается.
6.2.2. Интеграл от спектральной плотности (спектральная функция)
Случаи, когда спектральной плотности не существует. Ранее спектральная плотность была определена с помощью предела
г
Hm E [Cxx (/)] = Hm J ^x (и) (1 - e~J2«fu du,
T-* оо Т-юо_?т ЛЛ \ 1I
при условии, что этот предел существует. Чтобы Yxx(j) была конечной, достаточно выполнения неравенства
I!**(/) I =
(u)e-^fadu
1XX
—оо
< 1 \lxx(a)\du^M, (6.2.9)
где M — конечная константа. Следовательно, достаточное (но не необходимое) условие существования конечной спектральной плотности состоит в том, что Ухх (и) убывает достаточно быстро при и -*- оо, так что интеграл (6.2.9) сходится.
*' Подразумевается, что как оценка, так и статистический параметр зависят от времени /. так что от них можно брать преобразование Фурье. — Прим. перев.
6.2. Спектр
271
В качестве примера случайного процесса, для которого это условие не выполнено, рассмотрим процесс
X (t) = A cos 2n/0t + В sin 2иf0t = /9 cos (2*f0t + ?), (6.2.10)
где А и ? — независимые случайные величины с нулевым средним значением и дисперсией а2. Каждая реализация x(t) является коси-нусоидальной волной R cos (2л/ог + ф), имеющей постоянную амплитуду, частоту и фазу. Но при переходе от одного члена ансамбля к другому амплитуда и фаза изменяются случайным образом, в то время как частота остается фиксированной. Из (6.2.10) получаем
E \Х(t)\ = E [A] cos 2nfat -j- E [В] sin 2к/0і = 0. Следовательно,
7ХХ (u)=E[X(t)X(t + u)] =
= Я [(A cos 2«f0t + ? sin 2itf0t) (A cos 2u/0 (* + u) +
+ 5sin2x/0(^ + m))] = = a2 [cos 2тс/0/ cos 2тї/0 (г1 + и) + sin 2nf0t sin 2it/0 (t + и)] = = o2cos2tc/0«.
Функция \хх(и) не стремится к нулю при и->оо, так что для нее интеграл (6.2.9) расходится. Однако можно определить спектральную плотность через б-функции, используя (2.2.12):
Гхх (/) = 4 [8 (/ - /о) + 8 (/ + /о)] •
Следовательно, спектральную плотность случайного процесса (6.2.10) можно считать равной двум б-функцням, имеющим площадь о2/2 и сосредоточенным на частотах f= ±f0.
Интеграл от спектральной плотности (спектральная функция). Даже в том случае, когда спектральная плотность содержит б-функции, имеет смысл говорить о дисперсии процесса, в котором оставлены только частоты, не превосходящие некоторой частоты /'. Эту дисперсию формально можно получить, интегрируя спектральную плотность. Так, интегрируя (6.2.2) от f = —f до f = f, мы получаем спектральную функцию *>.
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 94 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed