Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Два примера. В табл. 6.2 приведены значения Czz(fh) для одной из выборок случайных нормальных чисел, использованных для вычислений в табл. 6.1. Здесь N= 100, A = I и, следовательно, fft = 0,01; 0,02; ...; 0,50. На рис. 6.8 показан график i(fh)/s2 в зависимости от k для этого ряда. Из этого рисунка видно, что отклонения от прямой невелики. Чтобы получить точное заключение о величине этих отклонений, можно при больших N воспользоваться критерием значимости Колмогорова — Смирнова [4]. Он состоит в том, что надо построить полосу ±У(Л72— около теоретической прямой. Для уровней значимости 0,95 и 0,75 К равно 1,36 и 1,02 соответственно. В нашем случае N/2 = 50; поэтому 95%-ные границы равны
± 1.36/У49 = ±0,19; 75%-ные границы равны ±0,15. Эти границы
6.3. Спектральные оценки
285
Таблица 6.2
Выборочный спектр на гармонических частотах для выборки белого шума
fk с« (/») fk Czz (fk) fk czz (fk)
0,01 1,13 0,17 1,91 0,34 1,75
0,02 1,41 0,18 0,15 0,35 0,25
0,03 0,74 0,19 0,85 0,36 1,84
0,04 1,08 0,20 2,49 0,37 3,98
0,05 1,28 0,21 3,89 0,38 0,22
0,06 0,06 0,22 1,13 0,39 1,52
0,07 0,85 0,23 0,53 0,40 1,48
0,08 0,23 0,24 1,86 0,41 0,44
0,09 0,71 0,25 0,47 0,42 1,16
0,10 0,79 0,26 1,87 0,43 1,20
0,11 0,51 0,27 1,35 0,44 2,73
0,12 0,46 0,28 1,29 0,45 1,66
0,13 1,38 0,29 0,06 0,46 1,34
0,14 0,11 0,30 0,24 0,47 0,17
0,15 0,37 0,31 0,56 0,48 1,43
0,16 0,50 0,32 0,68 0,49 1,03
0,33 0,44
показаны пунктиром на рис. 6.8, и мы видим, что значения i(/ft)/s2 попадают целиком между ними. Поэтому нет никаких доводов против того, что выборка получена из белого шума. Интерпретация 75%-ных границ, например, заключается в том, что в среднем на каждом четвертом графике максимальное отклонение от теоретической прямой будет выходить за границы, даже если процесс на самом деле является белым шумом.
В табл. 6.3 показаны результаты вычислений для этого критерия, выполненных по ионосферным данным из табл. 2.1. Для этих данных s2= 196,4. Значения Czz(fh) из табл. 6.3 можно получить, умножая вклады в среднеквадратичное значение, помещенные в табл. 2.2, на N = 12.
Из рис. 6.9 видно, что выборочная оценка спектральной функции сильно отклоняется от прямой линии, поскольку i(fi)/s2 примерно в два раза больше соответствующего среднего значения для белого шума, a i(f2)/s2 почти в три раза больше. Доверительные границы, о которых мы говорили выше, здесь неприменимы, так как
Рис. 6.8. Проверка того, что шум белый, использующая интеграл от периодограммы.
Таблица 6.3
Применение критерия проверки белого шума к ионосферным данным
Czz (/*) k Ns> 2 Czz Ul)
0,083 753,6 0,32
0,166 1322,4 0,88
0,250 38,4 0,90
0,333 18,0 0,91
0,417 78,0 0,94
0,500 146,0 1,00
6.3. Спектральные оценки
287
N слишком мало. Фактически, в этом случае и не требуется никакого критерия значимости, поскольку значения i(fk)/s2 так велики при /г, = 0,083 и 0,166.
к
Рис. 6.9. Проверка ионосферных данных на случайность.
6.3.3. Общие результаты о выборочных спектрах для белого шума
В разд. 6.3.1 выведены выражения для среднего значения и ковариации оценки, соответствующей выборочному спектру, на гармонических частотах fh = k/NA в предположении, что Zt — гауссов-ский процесс. В приложении П9.1 выведены более общие результаты, применимые для любых частот и для негауссовских процессов.
Моменты оценок, соответствующих выборочному спектру, для белого шума. Для дискретного времени эти более общие результаты имеют вид
? [C22 (/)]= T22 (/) = а|Д,
288
Г л. 6. Спектр
CoV[C22(Z1), C22(Z2)] =
— I «л2
- nv~ + °zA
SIn^A(Z1 + /а) \а TVsIn11A (Z1 + /о) I +
/ SIn^A(Z1-Z2) \а-| _JL<f f/J_ (RQ1^
+ ( TVsInT^(Z1-Z2) JJ' 2д ^Zi. /2< 2д ' (0.3.1o)
где Ki— четвертый кумулянт распределения Zt. Можно проверить, что (6.3.15) равно нулю, когда fi и f2 кратны фундаментальной частоте 1/NA и Zt — гауссовский процесс, так что Ki = O. Таким образом, при этих предположениях оценки выборочного спектра независимы, как показано в разд. 6.3.1.
Для белого шума с непрерывным временем общие результаты имеют вид
E [C22(/)] = T22(Z) = O2Z, -<x><Z<<*>- (6.3.16)
и
COV[C22(Z1), C22(Z2)] =
-у- + °z
sin^r (Z1 + /з) V і I SInT1T-(Zi-Z2) \21 *T (Zi +/г) J-1V «7"(Zi-/s) j J' Л<«>, (6.3.17)
где /С4 — четвертый кумулянт процесса Z(r).
Заметим, что ковариация спектральных оценок имеет порядок 1/7" для негауссовских процессов, т. е. при Ki О, в то время как для гауссовских процессов Ki = O и ковариация имеет порядок 1/Y2. В частном случае, когда fj и f2 — значения, кратные 1/Т, ковариация равна нулю. Далее, дисперсия спектральных оценок без учета членов порядка 1/7" и более высокого равна
Var [C22 (Z)}= oz.
Это показывает вообще, что CZz(f) не является состоятельной оценкой Tzz(f).
^-свойства оценок, соответствующих выборочному спектру, для случая белого шума. В разд. 6.3.1 было показано, что если Z1 является гауссовским белым шумом, то 2Czz(f)/Ao2 имеет ^-распределение с двумя степенями свободы для гармоник fk = k/NA. В приложении П9.1 этот результат обобщается следующим образом. Для гауссовского белого шума распределение величины 2Czz(f)/Ao2z
