Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
того, чтобы дисперсия Var[Cxx(/)] была небольшой. В разд. 4.2.3 было показано, что нужно выбирать компромиссное решение, учитывая и дисперсию, и смещение оценки. Те же самые рассуждения применимы и к оценкам спектра. Смещение можно сделать малым, лишь сужая W (f), т. е. выбирая ее как можно ближе к б-функции. С другой стороны, узкое спектральное окно W(f) приводит
298
Г л. 6. Спектр
к большой дисперсии. Поэтому разумная процедура состоит в минимизации среднеквадратичной ошибки [7]:
Var [СХХ(Л]+В2 (/). Точная природа компромисса, который нужно сделать, будет зависеть от плавности изменения теоретического спектра Г** (/). Например, если Гхх U) очень плавно меняется, то дисперсию можно уменьшить с помощью широкого окна, не внося серьезного смещения. В частности, если ГХх (f) плавно меняется в диапазоне — 1/М =? (f— g) 1/М, то (6.3.36) приблизительно равно
со
E [Схх (/)] » Тхх (/) j W (g) dg = Тхх (/) (6.3.36)
—со
в силу (6.3.33) и (6.3.34). Следовательно, если теоретический спектр изменяется достаточно плавно, то получается фактически несме-' щенная оценка, хотя спектральное окно при этом делается широким для снижения дисперсии.
Приближенные выражения для смещения. Если нельзя считать, что теоретический спектр изменяется плавно по сравнению со спектральным окном, то можно, следуя Парзену [8], приближенно подсчитать смещение, соответствующее данному спектральному окну. Используя (6.3.28) и (5.3.13), мы можем записать смещение для больших T также в виде
BV) = E
j w (и) схх («) еЧ2ж/а du - J тхх (и) e~i2%f" du
j (w (и) - 1) тхх (и) е-**"а du, (6.3.37)
—OO
Подставляя в эту формулу корреляционные окна w (и) из габл. 6.5, получаем следующие выражения для смещений, соответствующих этим окнам:
OO
Вв (/)« - J I и \ 7ХХ (и) e-J2*fu du,
—со
OO
*Af)~- w 1 »2ТХх(")^/2л/И^ + °Ш =
—со ^ '
= ^^(/) + 0 Щ, (6.3.38)
OO
«я(Л*-ж_1«'ъ «¦> і" + о (ж) =
=^гВ(Л + о(^).
6.4. Дальнейшие свойства сглаженных спектральных оценок
299
В приведенных выше выражениях Г®х(/) — вторая производная спектра.
Эти формулы показывают следующее:
1. Если Г<^ (f) отрицательна (как, например, в окрестности
пика), то смещение отрицательно, и поэтому в окрестностях пиков оценки будут обычно давать заниженные значения. Наоборот, если Г(2> (f) положительна ( как, например, в окрестности впадины), то
смещение положительно, и в этих точках оценки будут обычно давать завышенные значения.
2. Чем меньше ширина пика или впадины, тем больше Г^ (f)
и, следовательно, тем больше смещение.
3. Смещение BB(f) для окна Бартлетта имеет порядок \/М, и поэтому оно будет, вообще говоря, больше, чем смещения для окон Тьюки и Парзена, которые имеют порядок 1/М2.
4. Смещение уменьшается с увеличением М, т. е. с уменьшением ширины окна.
5. При одинаковом значении точки отсечения М, т. е. максимального запаздывания, на котором корреляционное окно отлично от нуля, окно Парзена дает большее смещение, чем окно Тьюки. Это происходит из-за того, что спектральное окно Парзена шире, чем спектральное окно Тьюки (см. рис. 6.13). Однако дисперсия оценки Парзена меньше, чем дисперсия оценки Тьюки при одном и том же значении М, как будет показано в разд. 6.4.1.
Формулы (6.3.38) полезны для качественного описания свойств смещения, однако для получения количественной картины нужно построить график среднего сглаженного спектра, как будет показано в разд. 7.1.
6.4. ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА СГЛАЖЕННЫХ СПЕКТРАЛЬНЫХ ОЦЕНОК
Мы уже исследовали одно важное свойство спектральной оценки, а именно ее смещение. Другое важное свойство описывается ее дисперсией. В разд. 6.3.4 было получено приближенное выражение для дисперсии в частном случае белого шума при использовании окна Бартлетта. Теперь мы обобщим этот результат на случай произвольного процесса и произвольного окна. Зная дисперсию, можно на любой частоте построить доверительный интервал для истинного спектра. В этом разделе показано, что если две частоты отстоят друг от друга достаточно далеко, то ковариация оценок на этих частотах почти равна нулю. Поэтому для таких частот доверительные интервалы можно строить независимо.
300
Гл. 6. Спектр
6.4.1. Ковариация сглаженных спектральных оценок
Вывод точного выражения для ковариации сглаженных оценок на двух частотах довольно сложен. Поэтому здесь мы дадим эвристический вывод результатов, а более подробное изложение будет приведено в приложении П9.1.
В способе, излагаемом здесь, мы воспользуемся тем фактом (см. (5.2.6)), что любой случайный процесс (X(t) со спектром Vxx(f} можно представить в виде белого шума Z (і), пропущенного через линейный фильтр. Воспользовавшись этим фактом и формулами разд. 6.3.3 для ковариации оценок, соответствующих выборочному спектру, в случае белого шума, мы сможем вывести выражения для аналогичных ковариации, но в случае произвольного случайного процесса. Затем уже несложно получить выражения для ковариации сглаженных спектральных оценок.
Ковариация оценок, соответствующих выборочному спектру.
Рассмотрим случайный процесс X (t) со спектром Гхх (/), получаемый из белого шума Z (t) по формуле
