Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
/' со
W)= Jr^(TW= К>)~^«. 0</'<оо.
-/' -°°
(6.2.11)
*> Обычно в определении спектральной функции нижний предел интегрирования берут равным нулю. — Прим. перев.
272
Гл. 6. Спектр
Эта функция похожа на функцию распределения, так же как нормированный спектр похож на плотность вероятности. Таким образом, мы имеем
/(O) = O, /(оо) = а2
и
/(AXZ(Z2)
при ft =? {г. Если спектральная плотность содержит б-функцию на частоте / = /о, т. е. уХх{и) содержит компоненту k cos 2я/0«, то спектральная функция имеет скачок величины k на частоте /о. Для дискретного времени спектральная функция имеет вид
/ ' OO
n f ^_
2Д
0</'<4г. (6.2.12)
6.2.3. Спектр белого шума
В разд. 5.2.1 чисто случайный процесс, или белый шум, Z(t) был определен как процесс, имеющий ковариационную функцию yzz(u) =°\ б (")• Этот процесс имеет бесконечную дисперсию и поэтому не может быть случайным процессом в обычном смысле. Однако мы показали, что его можно рассматривать как предел при т—>-0 процесса Башелье—Винера Y(t), имеющего ковариационную функцию
[О, |«|>*.
I z /1----LuL , |«|<т.
Отсюда, согласно определению (6.2.2), процесс Башелье—Винера имеет спектральную плотность
IYk(Z)= j4(l--^)^"^ = a|(^Zl)2, -ос</<оо.
В пределе при т-»-О функция ryy(f) стремится к константе для всех /:
Hm IVr (/)==Ггг(/) = 4- (6.2.13)
•и-»- О
Процесс Z(t) называется белым шумом по аналогии с белым светом в оптике, содержащим все оптические частоты с приблизительно одинаковой интенсивностью. Строго говоря, белый шум
6.2. Спектр
273
нельзя реализовать физически, так же как и единичный импульс, который можно рассматривать как математический аналог единичного импульса в технике.
Способы генерации белого шума. При определении белого шума для дискретного времени не возникает никаких трудностей, так как ковариационная функция дискретного белого шума Zt равна
izz \ о, а = ±Д, ±2Д, ±ЗД, .... Используя (6.2.6), получаем
Ггг(/) = а|д, -4г^/<4г' (6-2л4)
так что все частоты в интервале —l/2A^f< 1/2Д несут одну и ту же мощность, или дисперсию.
Дискретный белый шум можно очень просто получить из непрерывного небелого шума. Предположим, например, что имеется источник непрерывного небелого шума, ковариационная функция которого равна нулю при ц>«о- Ясно, что если мы возьмем отсчеты процесса X(t), отстоящие друг от друга на А > uo, то получим процесс Zt с ковариационной функцией (6.2.14).
Частотная интерпретация этого метода генерации дискретного белого шума из непрерывного небелого шума состоит в следующем. Частота выбирания 1/А настолько мала, что происходит очень много наложений частот спектра Гхх(!) (см. разд. 2.4.2). Поэтому спектр дискретного сигнала (отсчитываемого в дискретные моменты времени), равный сумме налагающихся участков rxx(f), будет становиться все более пологим, т. е. rzz(f) стремится к константе в интервале — 1/2Д<^/<Г.1/2Д. Этот процесс проиллюстрирован на рис. 2.11 для одного частного случая. Заметим, что, обсуждая вопросы, связанные с белым шумом, мы ничего не предполагали относительно плотности вероятности Z(t). Белый шум Z(t) может иметь любую плотность вероятности.
Строго говоря, белый шум нереализуем физически, но можно получить очень хорошее приближение к нему. Например, флуктуирующий ток в электронной лампе дает очень хорошее приближение, так как его спектр мощности по существу равен константе в интервале от 0 до 100 Мгц. Этот шум, называемый обычно дробовым, создается в результате случайной эмиссии электронов с катода лампы.
Другим физическим примером шума, являющегося приблизительно белым в широком диапазоне частот, служит тепловой шум. Этот шум представляет собой напряжение (или ток) в проводнике, обладающем сопротивлением R, вызванное тепловым движением электронов. Его спектр мощности почти постоянен в широком диапазоне частот и равен
r*x(/) = 4W,
274
Гл. б. Спектр
где T — абсолютная температура и k—постоянная Больцмана. Более детальное обсуждение дробового и теплового шумов можно найти в [2].
6.2.4. Спектр линейного процесса
Мы сейчас получим выражение для спектральной плотности выхода устойчивой линейной системы, на вход которой подается стационарный процесс. В том случае, когда на вход подается белый шум, выходной спектр является спектром стационарного линейного процесса.
Рассмотрим выходной процесс X(t) устойчивой линейной системы с откликом на единичный импульс h(u), когда входным процессом служит Z(t). Из (5.2.8) ковариационная функция процесса X(t) равна *
OO OO
Чхх (и) == f j h (V) h (v') [zz (и -f V — V') dv dv',
OO \
и, следовательно, из (6.2.2) спектральная плотность выхода равна
сю
*XX V)= j ъх («)*-**'"</« =
— сю
OO OO со
= J е~рк/а } J" h (V) h (V') Tzz (и + V - V') dv dv' du =
—по О O
OO OO OO
= j h (V) eJ2*fv dv\h (V') e~n*tv' dv \ izz (у) еЧ2«/у dy,
O O —oo
где у = U +V — v'. Отсюда
ГXX if) = И (-/) И (f) Tzz (/) = I H (f) I2 Tzz (f),
Это фундаментальное свойство утверждает, что спектральная плотность выхода линейной системы получается из спектральной плотности входа с помощью умножения на квадрат модуля частотной характеристики системы.
