Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
> Случайная величина Cxx(f) определяется равенством
Т/2 2 T
j X (О е~№ Л = J схх (и) e-^fa du, - оо < / <
схх(/) = 4-
-Г/2
Авторы используют для CxX (f) термин sample spectrum estimator, который мы будем переводить как оценка, соответствующая выборочному спектру. — Прим. перев.
264
Г л. 6. Спектр
Функция rxx(f) называется спектральной плотностью *\ Равенство (6.2.2) показывает, что спектральная плотность является преобразованием Фурье от ковариационной функции процесса X(г). Пользуясь табл. 2.3, получаем обратное преобразование
OO
Положив и = 0 в (6.2.3), получаем
OO
•^(0) = 4^ ^xxif)df. (6.2.4)
-OO
Следовательно, Txx(f) показывает, как дисперсия процесса X(t) распределена по частотам аналогично тому, как (6.1.9) показывает, как распределена по частотам средняя мощность одной конкретной реализации длины Т. В частности, вклад в дисперсию процесса X(t), который вносят частоты в интервале от f до f + df, равен приблизительно TXx(f)df. Отметим, что, согласно определению (6.1.6), rxx(f) является неотрицательной для всех /.
Для дискретного времени соотношения, соответствующие (6.2.1)-(6.2.3), имеют вид
N-
E\Cxx(f)\=a 2 ЪсИ1-^)
k=-(N-l) \ /
g-/2it/ft4
Гхх (Л = Hm E [Схх (/)] = Д 2 Тхх (*) є'™" -
W-oo • - А,="оо ХХ
1/(24)
¦w<f<-w- <6-2-6)
Тя(*)= J ?xx(f)e'Wdf, k = 0, ±1, ±2, ... (6.2.7)
-17(2A)
Некоторые примеры. Для выяснения вопроса о том, какую информацию содержат спектры, на рис. 6.4 и 6.5 показаны теоретические спектры (спектральные плотности) процессов авторегрессии
*> В оригинале power spectrum. Наряду с термином «спектральная плотность» мы будем также использовать для функции Г**(/) (там, где это не приводит к неясностям) более короткие названья «спектр» или «спектр мощности». — Прим. перев.
Рис. 6.4. а — реализация, б — автокорреляционная функция и в—спектр дис« кретного процесса авторегрессии первого порядка (ai= +0,9).
268
Гл. 6. Спектр
первого порядка и их корреляционные функции. Аналитическое выражение для спектра процесса авторегрессии будет получено в разд. 6.2.5.
Из рис. 6.4 видно, что, когда параметр авторегрессии ai = 0,9, ряд изменяется плавно, и это находит отражение в том, что корреляционная функция плавно затухает при увеличении запаздывания. Соответствующий спектр принимает большие значения на низких частотах и малые — на высоких частотах. Следовательно, для плавно изменяющихся рядов характерны спектры, у которых большая часть мощности сосредоточена на низких частотах. Заметим, что на рис. 6.4, 6.5 и 6.6 спектры изображены в логарифмическом масштабе, детальнее показывающем их в более широком диапазоне амплитуд. Другая причина, по которой спектр лучше изображать в логарифмическом масштабе, будет указана позднее.
На рис. 6.5 мы видим, что, когда cti= —0,9, ряд очень быстро осциллирует, и это находит отражение в том, что корреляционная функция меняет знак. Соответствующий спектр принимает большие значения на высоких частотах и малые—на низких частотах. Следовательно, для быстро осциллирующих рядов характерны спектры, у которых большая часть мощности сосредоточена на высоких частотах.
На рис. 6.6 показан процесс авторегрессии второго порядка. Как указывалось в разд. 5.2.4, соответствующий временной ряд является квазипериодическим со «средним» периодом около 8 сек. Корреляционная функция отражает это периодическое поведение; она представляет собой затухающую синусоидальную волну с периодом 8 сек. Соответствующий этому случаю спектр имеет пик на частоте fo = 0,125 гц. Так как процесс X(t) не является точно периодическим, его спектр не сосредоточен на единственной частоте /о = 0,125 гц, но рассеян по всем частотам в диапазоне —0,5 =? f ^ 0,5 гц. Впрочем, большая часть мощности сосредото-, чена вблизи частоты fo = 0,125 гц.
Нормированная спектральная плотность. Иногда приходится сравнивать временные ряды, значения которых измерены в разных масштабах. В таких случаях полезно нормировать Г^(/), разделив ее на дисперсию а2х. Функция
гхх (/)
называется нормированной спектральной плотностью *>. Из (6.2.2)
*> В оригинале spectral density function (спектральная плотность). В нашей литературе спектральной плотностью называют функцию ГХх(И- Поэтому мы будем называть функцию ГХх([)к*х нормированной спектральной плотностью или часто, ради краткости, нормированным спектром.. — Прим. перев.
6.2. Спектр
269
получаем, что Г**2(/) = j ?хх (и) e~n%fu du, (6.2.8)
X —OO
так что нормированная спектральная плотность является преобразованием Фурье от корреляционной функции.
Далее, нормированный спектр, будучи пределом неотрицательных функций, сам является неотрицательной функцией. Так как интеграл от нормированного спектра равен единице, то с математической точки зрения он обладает теми же свойствами (3.1.8), что и плотность вероятности. В разд. 6.3 будет показано, что аналогия между нормированным спектром и плотностью вероятности распространяется и на оценивание этих двух функций по записям конечной длины.
Использованный в этом разделе способ определения спектра не является единственно возможным. Другой способ, основанный на собственных значениях ковариационной матрицы случайного процесса, приводится в разд. 11.1.2.
