Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
307
6.4.3. Доверительные границы для спектра
Поскольку vCXx(f)/rXx(f) имеет %2-распределение с v степенями свободы, где V задается равенством (6.4.17), то отсюда получаем
где xv(a/2) определяется из равенства Pr(X2, ^xv(a/2)} = а/2. Отсюда, используя точно такие же рассуждения, что и в разд. 3.3.2, получаем, что интервал
чСхх (/) sCxx (/)
U- («/2)] 1 *, W2) (6.4.20)
является 100(1 —а) %-ным доверительным интервалом для VXx(f). Для заданного отношения Т/М значение v, соответствующее данному спектральному окну, можно взять из столбца 4 табл. 6.6. После этого доверительный интервал можно вычислить по (6.4.20), взяв с рис. 3.10 множители v/xv(ct/2) и v/xv[\ — (а/2)]. Например, выборочная сглаженная спектральная оценка, приведенная на рис. 6.10, была получена с помощью окна Бартлетта при М/Т = 0,125. Поэтому из табл. 6.5 находим v = 3/0,125 = 24. На частоте / = 0,1 гц Czz(f) =0,804, и, пользуясь рис. 3.10, находим 95%-ные доверительные границы для rzz(f):
0,61 • 0,804 = 0,49; 1,94 • 0,804 = 1,56.
Аналогично 95%-ные доверительные границы для Tzz(f), полученные с помощью несглаженного выборочного спектра на той же частоте / = 0,1 гц, равны
0,27 • 0,622 = 0,169; 39,5 • 0,622 = 24,6.
Эти границы значительно шире, так как при этом выборочной оценке соответствует меньшее число степеней свободы.
Заметим, что равенство (6.4.19) дает доверительный интервал для Txx(i) лишь на одной конкретной частоте f. Если задать доверительные интервалы на q частотах, на которых оценки независимы, то уровень доверия будет (1 —а)ч, что обычно значительно меньше, чем 1 — а. Отметим еще, что дисперсия будет полно характеризовать свойства оценки лишь в том случае, когда мало смещение, как отмечалось в разд. 6.3.5. Поэтому построенные выше доверительные интервалы будут иметь значение лишь тогда, когда спектральное окне достаточно узкое, так что нет заметного смещения.
Доверительные интервалы в логарифмическом масштабе.
В разд. 7.1.2 будет показано, что выборочные спектральные оценки
308
Гл. 6. Спектр
нужно строить в логарифмическом масштабе, так чтобы изменчивость спектра могла быть выражена удобным образом. Логарифмический масштаб является также разумным с технической точки зрения, так как обычно важны относительные изменения мощности. Со статистической точки зрения также важно строить спектры в логарифмическом масштабе, так как при этом построение доверительного интервала для спектра сводится к откладыванию около выборочной спектральной оценки одного и того же интервала для всех частот. Таким образом, из (6.4.20) доверительный интервал для \gTxx(f) равен
ig^(/) + ig vl_v(a/2)i ¦ ig^(/)+ ig^rrby-- (6-4.21)
Поэтому при построении выборочной оценки спектра доверительный интервал для всех частот можно указать одним вертикальным отрезком.
Рассмотрим, например, выборочную сглаженную спектральную
оценку Cxx(f) на рис. 6.10, для которой v = 24. Из рис. 3.10 и (6.4.21) находим, что 95%-ные доверительные интервалы для lg Txxlf) равны
Ig Схх (Z) + Ig0,61; Ig Схх (Z) + Ig 1,94.
Для Cxx(f), построенной на логарифмической бумаге, 95%-ный доверительный интервал можно было бы получить, просто построив точки (0,61; 1,0; 1,94), взятые с рис. 3.10, в виде вертикального отрезка в логарифмическом масштабе. Этот способ мы проиллюстрируем в разд. 7.2 и в других местах книги.
6.4.4. Ширина полосы частот спектрального окна
В разд. 6.4.1 было показано, что полезную характеристику спектрального окна дает величина I = j^w2(u) du, так как IjT есть
мера уменьшения дисперсии оценки, обусловленного сглаживанием с помощью спектрального окна. Следовательно, для получения небольшой дисперсии нужно выбрать w(u) так, чтобы / было мало. Для заданного окна этого можно достичь, уменьшив М. Полезной характеристикой окна является также его ширина. В следующих разделах будет показано, что для получения хорошей оценки пика спектра «ширина» спектрального окна должна быть того же порядка, что и ширина пика. Поскольку спектральное окно отлично от нуля для большинства частот f в диапазоне —оо^/^сю, необходимо определить точнее понятие «ширины» спектрального окна.
Один способ определения ширины, или ширины полосы частот, спектрального окна, который используют статистики [9], состоит
6.4. Дальнейшие свойства сглаженных спектральных оценок
309
в следующем. Рассматривают «полосовое» спектральное окно
Это спектральное окно представляет собой прямоугольник в частотной области, ширина которого равна h; таким образом, ширина полосы частот этого окна b = h. Из (6.4.13) получаем дисперсию сглаженной спектральной оценки, использующей это спектральное окно;
уаг|схи/>]~^-т=%^.
Для оценки, использующей спектральное окно отличное от прямоугольного, естественно определить ширину полосы частот окна как ширину такого прямоугольного окна, которое дает ту же самую дисперсию, т. е.
Var [Схх(/)] « . 1 = Г «,*(„, du.
(6.4.22)
Отсюда ширина полосы частот равна
ft= 4 = -^-= -^7-1-• (6.4.23)
j да2 (и) du j" W*{f)df
—оо —оо
Например, для прямоугольного корреляционного окна wR(u) и корреляционного окна Бартлетта wB(u) из табл. 6.5 значения ширины полосы частот равны 1/2Al и 1/3AJ соответственно.
