Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Дженкинс Г. -> "Спектральный анализ и его приложения Том 1" -> 83

Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.

Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения Том 1 — М.: Мир, 1971. — 317 c.
Скачать (прямая ссылка): spekralanalizt11971.djvu
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 94 >> Следующая

dmX . , dX . , V,A . , dlZ ,
й« -^яг + . . . + «і ~ar + ao (X (0 - j*) = */ + • • •
P и с. 6.7. Область устойчивости и классификация спектров для дискретных процессов авторегрессии второго порядка.
Его спектральная плотность равна
г /л 2 b0+bJ2nf + ... + bl(j2nf)' 1XxU) — °z
, — oo оо.
а0 + aJ2nf + ... +am
(6.2.23)
Аналогично для дискретного времени процесс смешанного типа (5.2.50), а именно
X1- p. = al(AV,- v) + ... +гМ-п-V) +Z1-T-V1Z^1+ ...
• • • + ViZtJ1.
имеет спектральную плотность
Г*х (/) = Дз!
-7'2я/Д
1 _ «^-/WA
' --к</<

(6.2.24)
Из выражения (6.2.23) видно, что для того, чтобы ГХх(ї) была интегрируемой спектральной плотностью, соответствующей случайному процессу X(t) с конечной дисперсией о2к, нужно, чтобы число I
6.3. Спектральные оценки 279
удовлетворяло условию l^m—1. Заметим, что в дискретном случае нет никаких ограничений на /.
Выражения (6.2.23) и (6.2.24) получены с помощью подстановки частотных характеристик (2.3.19) и (2.3.32) в (6.2.15) и (6.2.18) соответственно. В общем случае эти спектры могут иметь несколько пиков или впадин, если соответствующие характеристические уравнения имеют комплексные корни.
6.3. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
6.3.1. Вероятностные свойства оценок, соответствующих выборочному спектру, для случая белого шума
Введение. Табл. 6.1 наводит на мысль о том, что оценка, соответствующая выборочному спектру,
я —1 \2 / я —1 \2~
2 Z t cos 2кft А) + 2 Ztsin2nftA
Czz(f)-
A TV
~Ж<'<
і

(6.3.1)
для чисто случайного процесса (дискретного белого, шума) имеет дисперсию, не зависящую от числа наблюдений N. С другой стороны, среднее значение выборочного спектра по частоте близко к теоретическому значению спектра. Это указывает на то, что оценка, соответствующая спектру, не является состоятельной, т. е. ее распределение не стягивается к истинному значению спектра при увеличении объема выборки.
Чтобы убедиться, что это действительно так, рассмотрим случайные величины, соответствующие действительной и мнимой составляющим Фурье дискретного процесса Zt, (—/2=?/=?«— 1). Они задаются равенствами
л-1
A {f)= 2 zt cos 2%ftA,
t= —n n — l
ВЦ)== 2 Z tslr\2wft A,
м ^•/ ^ 2д

В таком случае оценку (6.3.1) можно записать в виде
Сzz (Л
N
[АЧЛ + ВЦЛ],
і

і

(6.3.2)
(6.3.3)
Исследовав свойства случайных величин A(f) и B(f), можно вывести и вероятностные свойства CZz(f)- В этом разделе будет показано, что если Zt — чисто случайный нормальный процесс с нулевым.
280
Гл. 6. Спектр
средним значением и дисперсией о-2, то для гармонических частот,
(частот fk, кратных основной гармонике) /? = А/Л/А, справедливы следующие утверждения: 1) случайные величины
Y{fk)= ZZkA > А=±1. ±2, . . ., ±(л-1) (6.3.4)
имеют ^-распределение с двумя степенями свободы;
2) Если fu = 0, или же fh = — 1/2А, то случайные величины
Y(fk)= Czz(!k) (6-3.5)
Да
имеют х2-распределение с одной степенью свободы;
3) случайные величины Y{fh) взаимно независимы для k = 0, ± 1, ±2, .... ±(л— 1), —п.
Этими результатами мы воспользуемся в разд. 6.3.2 при выводе критерия для проверки гипотезы о том, что шум является бельщ. В разд. 6.3.3 дается краткое изложение более общих результатов, относящихся к вероятностным свойствам оценок, соответствующих выборочным спектрам. Эти результаты получены для произвольных частот и для процессов, не являющихся белым гауссовским шумом. Доказательства приведены в приложении П9.1.
Х2-свойство оценки, соответствующей выборочному спектруч Так
как E [Zt] = 0, то из (6.3.2) следует, что
E[A (/))=0 = E [В {/)]. Отсюда для гармоник fh = k/NA получаем Var [А (Д)] = E [А2 (Д)] =
"-1 I0*"?-. ±1. ±2.....±(п-\),
= о| У cos22*/^A=
|a|/V, ft = 0, -п. (6.3.6)
Аналогично находим
(<&-?-. *= ±1. +2..... ±(л-1),
Var [Я (/»)] = (6.3.7)
[ о, k = 0, -п.
Далее при k ф I имеем
л —і
CoV[A(A), А(/,)] = C2Z 2 cos2ic/»<Acos2ie/,/A=0, (6.3.8)
/= —я
Cov [В (А), 5(/,)]=0.
6.3. Спектральные оценки
281
Кроме того, для любых k и / справедливо равенство
CoV[A(A), B(M=O. (6.3.9)
Так как A(fk) и B(fh) являются линейными комбинациями гауссов-ских величин, то они также имеют гауссовское распределение. Поэтому каждая из случайных величин
AHfk) ._ IAHfk) В2Щ 2/32 (Д)
Var |Л (/ft)l #4 ' Var [В (/»)] Na2,
имеет х2"Распределение с одной степенью свободы. Из (6.3.8) и (6.3.9) видно, что эти величины независимы, поскольку A (fu) и В (/ft) имеют нормальное распределение. Поэтому их сумма
2 ,ла„ч , М/,ч,_ 2Сгг(/*)
[л2 (А) + ?2 (А)] = = У (/»)
Wa| 1 V/A/ ' V*'J Да|
имеет х2-распределение с двумя степенями свободы.
При k = О или k = —п величина B(fk) тождественно равна нулю. Следовательно, случайная величина
* Vk)— Уаг[Л(/*)1 Да| ' A~U' И'
имеет х2-распределение с одной степенью свободы. Из равенств (6.3.8) и (6.3.9) следует, что случайные величины Y(fh) для различных частот независимы, так как они получаются из независимых гауссовских величин A(fk), B(fu). Таким образом, утверждения (1), (2) и (3) доказаны.
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 94 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed