Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
^(/) = ^(?^")2- (6-3-26)
Во временной области это эквивалентно умножению ковариационной функции на корреляционное окно
l-і^і-, |«|<М, IB(U)=- (6.3.27)
О, \и\>М.
Окна (6.3.26) и (6.3.27) называются спектральным и корреляционным окнами Бартлетта. График спектрального окна Бартлетта
6.3. Спектральные оценки
293
изображен на рис. 6.11. Видно, что он симметричен относительно начала координат и имеет нули в точках f = ±1/М, ±2/М, .... Таким образом, ширина окна (т. е. расстояние между первыми нулями с каждой стороны) равна 21IM. Следовательно, выбирая длину M отрезка разбиения, можно регулировать ширину спектрального окна. Мы уже показали, что, выбирая M небольшим, можно сделать малой дисперсию спектральной оценки. А малые значения M1 как мы видим, соответствуют большим значениям ширины спектрального
w?(f)
M
\
I O1BM I - \
I OAM J - \
-4/М -З/М -Z/M -1/М О 1/М Z/M З/М 4/Mf Рис. 6.11. Спектральное окно Бартлетта WB (/) =Af (sin nfM/nfM)2.
окна. Однако, если ширина окна велика, то происходит сглаживание на большом диапазоне частот, т. е. «отклик на единичный импульс» W (f) очень широк, что может привести к большому смещению В (/) = Е[Схх (/)] — Tхх (f). Таким образом, как и для всех статистических оценок, нужно выбирать компромисс между дисперсией и смещением. В следующем разделе такое компромиссное решение изучается для более общего способа сглаживания выборочных спектров.
6.3.5. Спектральные окна и сглаженные спектральные оценки
Один общий класс сглаженных спектральных оценок. Описаный выше способ сглаживания Бартлетта показывает, что большую дисперсию оценки, соответствующей выборочному спектру, можно уменьшить, вводя корреляционное окно (6.3.27). Это наводит на
294
Гл. 6. Спектр
мысль о том, чтобы рассмотреть более общие сглаженные спектральные оценки вида
OO OO
Схх if)=- j *» (") схх (и) еЧ2ж/а du = J Cxx (и) e~m,a da, (6.3.28)
—оо —OO
у которых дисперсия будет меньше, чем у несглаженной оценки Cxx(f).
1,0 O?
а 0,6 а"
0,ii
0,2
к Ч ^s. прямоугольное
^ Парзена \ТькжЭ\Биртлет-
_1_
_1_
'—г—-Лг=.-
О OM 0.2М О.ЗМ 0,W 0,5М 0,BM OJM O?M 0,9М M Рис. 6.12. Некоторые распространенные корреляционные окна.
Корреляционное окно w (и) в (6.3.28) удовлетворяет условиям:
1) та» (0) = 1,
2) w(u) = w(—и),
3) w(U) = O, \и\>Т. (6.3.29) На практике условие (3) заменяют на
4) w(u) = 0, \и\^М, М<Т,
так как при этом нужно будет вычислять ковариаций лишь до запаздывания М. Примеры корреляционных окон, широко применяемых в спектральном анализе, приведены в табл. 6.5, а их графики построены на рис. 6.12. Преобразования Фурье этих корреляционных окон, т. е. спектральные окна W (/), показаны на рис. 6.13.
Используя свойство свертки (2.4.3), равенство (6.3.28) можно записать в виде
Cxx(f)= j W(g)Cxx(/-g)dg.
(6.3.30)
Таблица 6.5
Корреляционные и спектральные окна
Название Формула для корреляционного окна Формула для спектрального окна
Прямоугольное wR (и) = 1, j u K Af 0, |«|>Af
Бартлетта •,(»)-(1 м - м<м 10, \и\>М
Тьюки I 0, |u|>Af +4 = Af sin 2«ZAl 1 sin 2«Af (/ + -j" [ 2Я/М 2 2«Af(Z+ 4-Af) sin2«Af ^Z - 4~M) } 2«M (z - 4" M) j / sin 2«ZAf W 1 \ \ 2¦KfM. )\ 1 - (2ZAf )2 )• — oo < ZC 00
Парзена wp (и) =. і і/ м I" К -?г -^¦<|«KAf 0, l«|>Af
296
Гл. 6. Спектр
где Схх (!) определена в примечании переводчика на стр. 263 и.
оо
W(J)= j w(u)e~J2%fudu. (6.3.31)
Рис. 6.13. Некоторые распространенные спектральные окна.
Обратное преобразование
OO
IfI(U)= j W(f)ei2*fu df. (6.3.32)
—со
дает возможность по спектральному окну W (f) вычислить корреляционное окно w (и). В соответствии со свойствами (6.3.29) спект-
6.3. Спектральные оценки
297
ральное окно W (f) удовлетворяет следующим условиям:
OO
1) j W(f)df = W(O) = I,
—сю
2) W(Z)=W (-/), (6.3.33)
3) W (f) действует при сглаживании как щель ширины ~2/М.
Математическое ожидание сглаженной спектральной оценки.
Беря математическое ожидание от обеих частей (6.3.30), получаем
OO
E [Схх (/)] = \ W (g) E \СХХ (f - g)} dg. (6.3.34)
-OO
Однако, как показывает (6.3.21), для больших T
E[Cxx(g))^Txx(g),
следовательно,
со
E [Схх (/)] » \W (g) Vxx (f -g)dg = Гхх (J). (6.3.35)
— OO
•Функцию Txx (f) будем называть средним сглаженным спектром.
Теперь нам понадобится материал разд. 2.4.1. Поскольку спектральное окно W(/) удовлетворяет условию (6.3.33) — (3), функция
Txx (f) будет выглядеть как несколько искаженная функция Тхх (/). Этот эффект показан на рис. 2.10, где ГХх (() соответствует
функции I Si (/) I, ТХХ (f) соответствует функции ISo (f) I, а корреляционные окна w (и) соответствуют временным окнам да (г). Из рис. 2.10 видно, что чем меньше ширина корреляционного окна,
тем сильнее отличается ТХх (!) от ТХх (/)¦ Следовательно, для того чтобы смещение
В(/) = Е [Схх] - Гхх (/) = Гхх (/) - Гхх (/)
было малым, нужно выбирать большое М. Это противоречит упоминавшемуся выше требованию выбора малого значения M для
